1.2.4 PLC中数的表示

1．正数与负数

上面所讨论的数制及数都是正数，没有讨论数的符号问题。在数字系统中（如PLC）不可能只能处理正数，不能处理负数；只能处理整数，不能处理小数。这就涉及数的表示问题。在讨论数的表示之前，先要说明一下二进制数码制及数的码制表示。

在通常运算中，正数用“+”号表示，负数用“-”号表示，如+8，-5 等。一个数只能有两种可能，不是正数就是负数（0 除外），正好是两种对立状态，而数字系统正好有 0 和 1两种状态，用它来表示正、负完全可以。参照符号一般是在数字的最前面，在数字系统中，把一组二进制数的最高位拿出来作为符号位，最高位为 0，表示后面的二进制数是正数；最高位为 1，表示后面的二进制数为负数。

2．数的表示

符号位确定后，正负数的表示方法又有原码、反码及补码表示。

1）原码表示

二进制数的原码就是指纯二进制数，把它的最高位作为符号位：0 为正，1 为负，即为二进制数的原码表示。

例如，十进制数+25，-25 的原码表示为：

纯二进制数 K25=11001

十进制数 +25， -25

二进制原码 011001 111001

用原码表示，显然，同样位数的二进制数，由于其首位为符号位，后面才是真正的数。因此，与纯二进制数相比，数的范围缩小了，这也是为什么 8 位二进制数正数最大不是 255而是 127 的原因。原码表示正、负数仅符号位不同，后面的数是一样的。原码表示出现了+0和-0，+0 为 000000，-0 为 100000（以 5 位二进制为例），正 0 不等于负 0，给计算机操作带来了很大的麻烦。

2）反码表示

什么叫反码？反码就是把原码按位求反（1 变 0，0 变 1）所得的二进制数。例如，K25的反码表示为：

纯二进码 +25=11001

原码 11001

反码 00110

正负数的反码表示法是：最高位为符号位，0 为正，1 为负。如为正数，则仍用原码表示；如为负数，则用反码表示。仍举+25，-25 为例。

纯二进制码 +25=11001

十进制数 +25-25

原码表示 0 11001 1 11001

反码表示 0 11001 1 00110

实际上，反码负数是把原码带符号位一起求反得到。

3）补码表示

什么叫补码？补码就是先把原码求反，然后在b ₀ 位加 1，也就是通常所说的“求反加1”。例如，K25 的补码是：

纯二进制数 +25=11001

原码 011001

求反 100110

加1 100111

正负数的补码表示法是：最高位为符号位，0 为正，1 为负，如为正数，仍用原码表示；如为负数，则用原码的补码表示（含符号位）。

纯二进制数 K25=11001

十进制数 +25-25

原码表示 0 11001 1 11001

反码表示 0 11001 1 00110

补码表示 0 11001 1 00111

目前，在数字系统中，正数和负数的表示就是采用补码表示法。补码表示的优点如下。

（1）补码表示，正数和负数互为补码。例如，-25 为 100111，如求其补码，100111 求反为 011000，加 1 后为 011001，正好是+25。

（2）补码表示，解决了 0 有+0 和-0 两种不同编码的困惑。在补码表示中，0 的表示是唯一的，即全为 0；而在原码和反码表示中，+0 和-0 是两个编码，这样就少了一种表示。例如，四位二进制数有 16 种组合，应该表示 16 个不同的数，但在原码和反码表示中，却只能表示+7～-7（+0 和-0 为两种表示，只代表 1 个数）共 15 个数。但在补码表示中，可以表示8～+7 共 16 个数，其中规定 1000 为-8，这也是在PLC中，确定数的范围时，负数总比正数多 1 的原因。例如：

8 位带符号二进制数 -128～+127；

16 位带符号二进制数 -32 768～+32 767；

32 位带符号二进制数 -2 147 483 648～2 147 483 647。

（3）补码表示最大的优点是符号位和数值位能一起参与加法运算。若产生进位，则将进位丢失，不用像原码和反码那样，先要进行符号位判别，然后还要比较大小，还要作进位判别等，使运算电路设计变得十分复杂。补码表示则不需要做上述处理，从而大大简化了电路设计，运算速度也大大加快，这就是为什么数字系统都采用补码表示的根本原因。

【 例 1.2-1 】 试用 8 位二进制补码表示计算：

①25+18②25-18③18-25④-25-18

解： 先写出+25，-25，+8，-8 的补码表示。

+25 00011001

-25 11100111

+18 00010010

-18 11101110

① 25+18=43

00011001+00010010=00101011（K43）

② 25-18=25+（-18）=7

00011001+11101110=00000111（K7）

进位被丢弃

③ 18-25=18+（-25）=-7

00010010+11100111=11111001（K-7）

④ -25-18=（-25）+（-18）=-43

11100111+11101110=11010101（K-43）

进位被丢弃

（4）几个特殊的补码表示

在补码表示的带符号数中，有几个数的表示要记住，下面以 8 位带符号二进制数说明。

+127 01111111

+1 00000001

0 00000000

-1 11111111

-127 10000001

-128 10000000

【试试，你行的】

（1）试写出十进制数K109 和K-37 的 8 位二进制原码、反码和补码表示。

（2）在计算机技术中，用补码来表示正数和负数有什么优点？

（3）为什么在补码表示中，负数范围要比正数范围多 1？

（4）试用 8 位二进制补码表示计算：

① 68+22 ② 68-22 ③ 22-68 ④ -68-22 cbNSdkd+66bqrfVjVIaqfkt3dg0msP2Mahjyp/O83+AfYPUndKG6CJxHi4FfXpTy