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2.2 可靠性仿真试验理论 |
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可靠性仿真试验的最终目的是对产品在给定应力条件下潜在故障点的故障时间进行分析，可以给出产品的故障信息矩阵，发现产品的可靠性薄弱环节，为定量评价产品的可靠性水平提供依据。具体来讲，就是在产品数字样机上施加其在使用过程中经历的载荷历程（包括温度和振动），分解到产品的基本模块上，进行应力分析和应力损伤分析；同时，通过仿真预计产品的失效时间分布，评价产品的可靠性水平，从而找出产品的设计缺陷和薄弱环节，采取改进措施，提高其可靠性水平。
目前，可靠性仿真试验主要包括热仿真及振动仿真、故障预计、可靠性评价3个阶段。其中，热仿真及振动仿真都是基于有限元法的，故障预计是基于故障物理及应力累积损伤方法的，可靠性评价是基于概率统计原理进行的评价。通过上述3个阶段的可靠性仿真分析，可以及早地发现产品热结构设计、振动结构设计的缺陷和薄弱环节，同时也可以发现可靠性设计的不足之处，通过分析改进，可以全面提升产品的固有可靠性水平，快速缩短产品设计成熟周期，提高产品市场占有率，从而创造更多的利润。
有限元法的基本理念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它把求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成的，对每一单元假定一个合适的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。它是一种计算产品设计特性的高效能方法，广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中 [2] 。
有限元法可以用于求解连续体动力学及热力学问题，如结构的静态、动态分析及热传导、电磁、流体力学分析。在工程应用中，可以计算出复杂结构的位移、应力和应变等参数，也可以分析结构的动力学特性。目前，常用的有限元软件有Nastran、Ansys、ABAQUS、LS-DYNA、ADINA、Fluent等，还有大量针对某个领域进行专门设计开发的行业专用有限元软件。
有限元法的思想是将一个连续的求解域离散分解为若干个子域，并通过其边界上的节点相互连接成为有机整体。它用每一个子域内所假设的近似函数组成求解域内的未知变量，而每个子域内的近似函数由未知函数在子域各节点上的数值和与其对应的插值函数来表示。如此一来，求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数节点值的有限自由度问题。有限元分析基本按照如下的流程进行的。
（1）确定有限元分析的问题及求解域：根据实际需要分析的问题确定求解域的物理性质和几何区域。
（2）对需要分析的对象进行离散化处理：将分析求解的对象近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个子域（单元）组成的离散域，也称网格划分。显然，网格越细，则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量将增大。因此，需要分析的对象离散化是有限元分析的核心技术之一。
（3）确定需要求解的状态变量及其控制算法：一个具体的有限元分析问题，通常可以用一组包含求解问题状态变量边界条件的微分方程式表示。一般在有限元求解分析过程中，将微分方程化为等价的泛函形式，以便适合有限元求解。
（4）建立子域的数学模型：对子域构造一个合适的近似解，其中包括选择合理的子域坐标系，建立子域试函数，以某种方法给出子域各状态变量的离散关系，从而形成子域矩阵。
（5）将子域数学方程总装求解：将子域数学方程总装形成联合方程组，反映对近似求解对象的离散域的要求，即单子域函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻子域节点进行的，状态变量连续性建立在节点处。
（6）联立所有分析对象子域方程组求解和结果分析：将分析对象的子域函数联立方程，通过运用直接法、迭代法或随机法进行求解，得到子域节点处状态变量的近似值；对于计算结果的质量，将通过与试验实测或设计允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
综上所述，有限元分析可分成3个阶段：前置处理、计算求解和后置处理。前置处理是建立有限元模型，完成子域（单元）网格划分；后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。
热仿真分析最基本的理论基础是传热学和流体力学。传热学主要研究热量传递的基本形式、传热机理等，流体力学主要研究流体流动特性。
1.热传递理论
世界万物都是按照一定的规律在运动着的，热量传递也不例外，它也有一些基本的规律可循：凡有温差的地方就有热量的传递。因此，产品之间或产品内部温差的存在是实现产品各部分传导热量的充要条件。传热过程一般分为稳定过程和不稳定过程两大类。稳定传热就是指产品中各点的温度只随发热位置的变化而变，不随时间而变。其特点为：通过传热表面的传热速率为常量。不稳定传热就是指产品中各点的温度既随位置的变化而变，又随时间变化。其特点为：传热速率、热通量均为变量。通常情况下，连续工作多为稳定传热，间歇瞬态多为不稳定传热。
热传递根据传热机理的不同，可分为3种基本方式：热传导、热对流和热辐射。这3种方式，它们可以单独出现，也可能两种或3种方式同时出现。
（1）热传导是指直接接触的物体间或物体内部存在温度差异时交换能量的现象。热量从物体的高温部分向同一物体的低温部分传递，或者从一个高温物体向另一个与其接触的低温物体传递。不同的物体，其导热机理各不相同。
热传导的数学表达式为
式中，Q为热流量，单位是W；λ为导热系数，单位是W/（m·℃）；F为垂直于热流方向的截面面积，单位是 m 2 ；∂t/∂x为温度 t 在x 方向的变化率；负号表示热量传递方向与温度升高方向相反。
（2）热对流是指流动的流体与其相接触的固体表面，二者具有不同温度时所发生的热量转移过程。它与流体的运动状态、流体的物理性质，以及换热面的几何形状、放置位置等因素有关。
热对流的基本计算式是牛顿冷却公式，为
式中，Q 为热对流量，单位是 W；α为热对流系数，单位是W/（m 2 ·℃）；F 为换热面积，单位是m 2 ；Δt为流体与壁面的温差，单位是℃。
式（2.2）表明，热对流量与换热面积和温差成正比。比例常数为热对流系数，它反映了热对流能力，流体的物性、换热表面的几何条件等都会影响热对流系数。
（3）物体通过电磁波来传递能量的过程称为辐射。只要温度高于绝对零度，物体总是不断地把热能变为辐射能，向外进行热辐射。同时，物体也不断地吸收周围物体投射到它上面的热辐射，并把吸收到的辐射能重新转变为热能。热辐射指的是物体之间相互辐射和吸收的总效果。
辐射热交换的公式为
式中，σ 0 为黑体辐射常数；ε x 为综合发射率；X 1，2 为角系数；F 1 为物体 1 的表面积；T 1 和T 2 为两个物体的表面温度。
2.流体力学理论
在连续介质力学范畴下，流体力学的基本方程为纳维-斯托克斯方程，包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
（1）质量守恒方程：控制体积中质量变化率等于通过控制体积边界流入的质量流量。表达式为
（2）动量守恒方程：控制体积中动量变化率等于通过控制体积边界流入的动量流量，加上体积力F（重力和惯性力）和表面力P（压力和黏性应力）引起的变化。表达式为
（3）能量守恒方程：控制体积中能量变化率等于通过控制体积边界流入的能量流量，加上由体积力F和表面力P做的功，再加上因热传导引起的变化。表达式为
体积力F一般指的是重力，即F=G。对于许多问题，重力一般可以忽略不计。
在式（2.4）至式（2.6）中，t 为时间；ρ为流体微团密度；Ω为流体微团体积；∑为流体微团的边界；v 为流体微团的速度矢量；n=（n x ，n y ，n z ）为表面单位法向矢量；E为总能量；q为热流量；F为体积力；P为表面力。
3.热仿真分析
热仿真分析的目的就是通过上述理论公式计算产品模型内的温度分布及热梯度、热流密度等物流量。它可以在产品的概念设计阶段发现热缺陷，从而改善产品设计。利用数学手段求解温度场，早期对建立的方程采用直接求解，由于方程复杂，只能求解简单的问题，无法求解实际中的复杂模型。随着计算机技术的发展，热分析的数值求解法得到快速发展，推出了成熟的热分析软件。
振动是指物体或质点系统按一定规律在其平衡位置附近作周期性往复运动。振动现象十分普遍，如摆钟、振动打桩等，这些对我们是有用的，但有些是有害的，如地震、桥梁振动等。振动会加速仪器设备的疲劳，缩短它们的使用寿命，所以必须对它们进行抗振设计。抗振设计一般解决两个方面的问题：首先，是对系统进行模态分析，得到系统的固有频率和模态振型，以了解系统本身的振动特性；其次，是分析系统在受到外部激励下的响应，得到系统的响应情况，以做出相应的抗振设计。
1.模态分析概述 [4]
在工程振动领域中分析结构振动特性的一种常用的分析方法就是模态分析。模态分析的经典定义是：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解祸，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。
每个机械结构都具有自己的模态，每一阶模态都对应其特定的固有频率。弹性结构具有振动模态。模态分析可以分析出弹性结构的固有频率及其对应的模态振型。我们可以通过模态分析得到结构在某个频率的范围内是否容易受外来振动激励的影响，以及受到影响后会发生的振动响应。所以，模态分析被普遍用来作为预测结构故障的方法。
在有限元分析的理论中，弹性结构在振动时可以被理解成一个具有多个自由度的系统。它具有很多个固有频率，每个固有频率都有其相对应的振动时的特性，就是其模态。一个结构的模态由以下3种因素决定：结构的几何特性、材料属性和施加的边界条件。模态与施加在结构上的外部作用力及初始条件没有关系。
一个线性系统，假设具有N个自由度，它在振动时的运动特性可以表示为
方程中，M为系统的质量矩阵；C为其阻尼矩阵；K为其刚度矩阵。
在方程（2.7）的两边进行拉氏变换，可以得到
令s=jω，则方程（2.8）可变成
方程（2.9）是一个耦合的方程组。为了解耦，可以引入模态坐标。令
式中， Φ 为模态振型的矩阵；{q}为模态坐标。
将方程（2.10）代入方程（2.9），得
振型矩阵有一个特性，就是质量矩阵和刚度矩阵是正交的。所以，分别对质量矩阵和刚度矩阵进行对角化，有
为了简化运算，可以对阻尼矩阵进行对角化处理，或者在小阻尼、比例阻尼的情况下进行近似对角化处理，即
对方程（2.11）两边左乘 Φ T ，得
经过上面一系列的方程变换，具有N个自由度的相互耦合的方程组就可以变得相互独立。解耦后的第i个方程可以表示为
在任意坐标L下，其响应为
从方程（2.17）可以看出来，一个具有N个自由度的系统，在使用模态坐标后，其振动响应可以通过叠加该系统的在各个单自由度状态下的响应而得到。这就是模态叠加原理。在模态坐标中，m i 表示模态质量。通过归一化的方法，对模态质量进行归一，其振型矩阵记为A，即
方程中， i ω是第i阶模态的固有频率。
模态分析的目的就是用有限元分析的方法，通过设定结构的材料属性、几何特性和边界条件，计算出结构的固有频率和模态阵型。而通过仿真计算得出的固有频率和模态阵型就可以预测该结构在振动后可能会出现的大应力、大形变、断裂等故障。模态分析不仅可以对已有的结构进行评估，也为进行进一步的仿真分析和优化设计提供了依据。
2.随机振动分析概述 [5]
随机振动是指系统对外加随机激励的动态响应，是一种只能在统计意义下描述的振动。现实中在很多情况下载荷是不确定的，例如，火箭每次发射会产生不同时间历程的振动载荷，汽车在路上行驶时每次的振动载荷也会有所不同。由于时间历程的不确定性，这种情况不能选择瞬态分析进行模拟计算，于是从概率统计学角度出发，将时间历程的统计样本转变为功率谱密度（PSD）函数，在此基础上进行随机振动分析。常见的随机振源包括路面的不平度、大气湍流、海浪、地震引起的地面运动等。为了鉴别和剔除产品工艺和元器件引起的早期故障，电子产品一般都要进行环境应力筛选，其中就包括随机振动试验。
随机激励通常以功率谱密度函数的形式来描述，若输入的功率谱为G x （f），系统的频率响应函数为H（f），则根据随机振动理论可以得出响应功率谱G y （f）为
由模态分析和频响分析可得到系统的频率响应函数H（f），因此通过式（2.20）即可计算随机振动响应功率谱G y （f）。
故障预计仿真采用故障物理方法，对产品在给定应力条件下潜在故障点的故障时间进行分析，可以给出产品的故障信息矩阵，发现产品的可靠性薄弱环节，为定量评价产品的可靠性水平提供依据。简单来说，就是在通过软件建立的产品数字子样机上施加产品所需经历的载荷历程（包括温度和振动），分解到产品的基本模块上，进行应力分析和应力损伤分析，从而找出产品的设计薄弱环节，提出设计改进措施，通过设计改进提高产品的固有可靠性，并能够通过仿真预计产品的失效时间分布，评价产品的可靠性水平。
故障物理（PoF）就是通过对产品进行机械、电子、热、化学等应力作用的分析，研究产品的故障模式、故障位置、故障机理及故障发生的过程。故障预计仿真的过程就是应力损伤分析及累积损伤分析的过程。
应力损伤分析是利用故障物理的原理确定产品的薄弱环节及故障发生的根本原因，进而提出各种预防和改进措施，从而生产出具有较高“内建可靠性”的产品。进行应力损伤分析前，需要依据分析对象的结构、材料和应力，比较故障物理模型的适用范围，选择适用的故障物理模型。故障物理模型种类很多，如焊点热疲劳的Coffin-Manson模型和Darveaux模型、随机振动疲劳的Steinberg模型等。同种故障机理可以采用多种不同的故障物理模型，但是它们各自有不同的适用范围和特点，在实际应用中需要正确选择。表2.2所示为两种故障物理模型的适用范围。
表2.2 两种焊点热疲劳的故障物理模型及其适用范围
确定了故障物理模型后就要收集模型公式中所需的参数，一般包括元器件焊点、引脚的详细结构尺寸及在PCB上的位置信息，重要元器件内部的相关几何结构信息，几何结构参数的分布信息等。接下来需要设置应力参数，包括分析对象的稳态温度、温度循环、振动应力、电应力、湿度应力等参数。根据所选择的故障物理模型的不同，应力参数可能是产品所受的环境条件和工作应力，也可能是潜在故障点位置处的局部应力。对于各模型的修正因子，一般通过实验数据拟合得到，这能大大提高模型的仿真精度。
示例 焊点在温度循环条件下容易产生热疲劳失效，常用的故障物理模型为Coffin-Manson模型，其表达式为
式中，
式中，N f 为平均失效循环次数；L D 为元器件的长度；h为焊点名义高度； f ε为疲劳延性系数；c为疲劳延性指数；Δγ为焊点总应变；α c 为元器件的线性热膨胀系数； s α为PCB的线性热膨胀系数；ΔT c 为元器件的温度变化值；ΔT s 为PCB板的温度变化值；T SJ 为温度循环平均值；t d 为半循环周期内高温持续时间；C为校准因子；F为经验修正系数。其中的几何结构参数有L D 和h。
针对多个单一量值应力同时或先后作用下的相同故障机理，采用累积损伤法则进行累积损伤计算。累积损伤计算包含以下步骤。
步骤一：将同时或先后施加的多个单一量值应力分解为量值不同的多个单一应力。
步骤二：提取同一故障机理，n个单一量值应力条件下蒙特卡洛仿真分析m次后得到故障时间数据N ij （i=1，2，…，n，j=1，2，…，m），根据工作环境条件可得到各应力水平在单位时间T下的施加时间t i ，按式（2.24）计算得到分析对象在单位时间T下由某个单一量值应力作用所造成的损伤量D ij 。
步骤三：依据累积损伤法则，将分析对象在n个不同量值单一应力作用下的损伤量D ij 进行累加，得到分析对象在多个单一量值应力同时或先后作用下的总损伤量D j 。
步骤四：根据式（2.25）计算损伤累积后的总故障时间N j 。
蒙特卡洛法是一种通过随机变量的统计试验、随机模拟来求解数学物理、工程技术问题近似解的数值方法。它的理论基础是大数定律，认为足够多的事件发生的频率与其概率在极限上是相等的。用蒙特卡洛法模拟求解过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。最简单、最基本、最重要的随机变量是在[0，1]上均匀分布的随机变量（工程上常称其为随机数）。其他分布随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。产生随机数的方法有手工方法、随机数表法、物理方法及数学方法。我们所采用的都是利用数值方式或算术方式产生的随机数，即伪随机数，伪随机数一般要经过独立性、均匀性的检验才能使用。产生伪随机数的方法有平方取中法、线性同余法等。方法的选择要考虑所产生伪随机数的独立性、均匀性。我们这里由于所有的计算都是在计算机上进行的，所以只利用了计算机上的伪随机数产生方法，即利用编程语言中的随机函数来产生随机数。一般来说，这已能够满足系统的要求。
考虑电子产品的结构参数、材料参数、工艺参数及应力量值的随机波动对应力损伤和累积损伤的影响，采用蒙特卡洛仿真方法进行参数离散和随机抽样计算，以形成大样本的故障时间数据。为保证分析精度要求，蒙特卡洛仿真分析的次数一般不少于1000次。