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1.1 卫星在轨运动的数学模型及其求解问题

太阳系中各大行星和小行星的绕日运动、自然卫星绕大行星的运动,以及人造小天体环绕目标天体(地球、月球、火星等)的运动,主要外力源只有一个。其中,各大行星和小行星的运动,主要力源是太阳引力;自然卫星运动的主要力源是相应的大行星;环绕型探测器运动的主要力源则是相应的目标天体。对于上述各类运动问题,除主要力源外,其他各种外力作用相对较小,这就可以将一般N(N≥3)体系统转化成一个受到“干扰”的二体系统,相应的数学问题称为受摄二体问题,所有的干扰源就称为摄动源。为了区别,通常将这一“受摄二体系统”中对应主要力源的天体称为“中心天体”,所要研究的问题,就是上述大、小行星、自然卫星和人造卫星(各类环绕型探测器)在相应的中心天体引力作用和若干摄动因素影响下的轨道运动问题。

人造卫星的运动包含两类完全不同的形态,一是其质心的运动,二是该卫星各个部分相对其质心的运动,后者称为姿态运动,而前者就是轨道运动。研究这两类运动问题,分别形成了相应的轨道动力学(以下简称轨道力学)和姿态动力学。本专著所要阐述的就是人造卫星的轨道力学问题,其主要内容是阐明卫星质心的运动规律,在某些问题中会涉及姿态问题,如卫星运动轨道在表面力类型的外力源作用时,会涉及其自身的姿态问题,但仅仅是引用相应的姿态运动结果,为卫星承受表面力的计算提供相应的有效截面。

以人造地球卫星的轨道运动为例,主要力源是地球的质点引力,其他各种外力源,包括地球的非质点引力、第三体(其他大天体,如日、月等)的质点引力和地球大气阻力、太阳辐射压力等非引力,相对地球质点引力而言均很小,可处理成摄动源。因此,地球卫星运动的轨道力学问题,对应的是一个受摄二体问题。对该问题,通常采用地心天球坐标系O-xyz,在此坐标系中,受摄二体问题即归结为一个常微初值问题,即

式(1.2)中的G是万有引力常数,E和m分别为地球和卫星的质量,式(1.1)中的 是应考虑的各种摄动加速度, 是卫星在该坐标系中的位置矢量和速度矢量。对于地球卫星而言,其质量之小,由于它的出现,既不会改变地球引力场的状态,也不会改变所在空间的任何物理状态,相应的卫星质量可取为m=0。在此前提下,式(1.2)变为

式中GE是地心引力常数,其值现为(见本书附录1)

对于一个地球低轨卫星,如果在300km 高的近圆轨道上运行,地球中心引力加速度(μ/r 2 )约为9m/s 2 ,而自然存在的各种摄动加速度 (i=1,2,···)中,最大的地球动力学扁率项相对中心引力加速度的大小为10 3 ,因此,地球低轨卫星运动方程式(1.2)对应的就是一个典型的受摄二体问题,相应的卫星运动轨道是一个缓慢变化的椭圆。如果该卫星有1T重,并同时存在持续的100N大小的机动力(这一卫星相当于一个机动平台),相应的机动加速度为0.1m/s 2 ,这仍可看做一种摄动力,其相对大小也仅达到10 2 ,比月球环绕地球运动受到太阳的引力摄动(2×10 2 )还小一些。对于这样一个空间机动平台的运动,采用受摄二体问题模型来研究它的运动规律仍然有效。

卫星运动方程式(1.1)是一类复杂的非线性常微分方程,如果直接求解,只能采用数值方法,在一定时间段内,它可以提供给定时刻卫星的运动状态,即 , ,但它无法给出卫星运动轨道的变化规律,而这一重要信息正是航天领域各相关工程部门必须清楚了解的细节,也是卫星轨道力学理论研究的核心内容,采用常微分方程的解析理论获取式(1.1)的分析解,从而提供卫星轨道的变化特征及其与相应力学背景的内在联系。本书就是针对这一核心内容,考虑到我国航天事业发展的需求,结合我们的研究成果,用9章的篇幅(2~10章)分别阐述卫星轨道理论及其应用的各个细节。 Or+NsvDwBqZEct6rHdyUv3jvAIuWAdKD1Ivmdgr0bNr2x0ZKquE/7fZ7HFcLAQXx

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