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通常，式（4.2）右函数的摄动部分f ε （σ,t,ε）也可展为小参数的幂级数，即
其中
为了适应平均根数法中将摄动变化分解为长期项和周期项的需要，可利用上一节求平均值的方法，将f N （σ,t,ε N ）,N=1,2,…分解成相应的三个部分，即
这里的第二个下标“c”，“l”和“s”，各表示长期、长周期和短周期部分，即f N c 只与a,e,i有关，f Nl 的周期取决于慢变量Ω和ω的变化，或是通约项（后面几章中会遇到），f N s 的周期则取决于快变量M的周期。要使平均根数法有效，则要求
这在人造卫星运动涉及的轨道力学问题中是常被满足的，在太阳系自然天体的运动中或近似满足。
将形式解式（4.5）代入式（4.2），右函数在
处展开，得
该式右端出现的根数σ均为参考解
。若式（4.5）表达的级数收敛，则可比较展开式（4.31）两端同次幂（ε
N
）的系数，并分别积分，得
上列各式右端被积函数中出现的（A） c ,（A） l ,（A） s 分别表示括号中函数A的长期、长周期和短周期部分。例如
利用求平均值的方法，即可分解为
容易证明，当f
1l
=0时，有
，详见下一段。因此，只要满足式（4.30）给出的条件，那么平均根数法采用的上述递推过程是有效的，即由低阶摄动求高阶摄动。但有以下几点需要说明：
（1）对于保守力摄动，a,e,i的变化无长期项，那么在Ω,ω,M的摄动变化中，长期项将是（t-t
0
）的线性函数，因为它们的长期项σ
1
,σ
2
,…对应的被积函数都是a,e,i的函数，且积分时取
。如果是耗散力，则解的结构要复杂些，例如，长期项将不再是（t-t
0
）的线性函数，但在一般情况下（耗散力相对较小，与ε
2
同阶的二阶小量，或更小），它不会影响级数解的构造，下面在类似问题中不再重复说明这一点。
（2）与经典摄动法不同，参考解
实际上是在递推过程中形成的，但它并不影响上述级数解的构造。例如，对于保守力摄动，有
其中ω
1
+ω
2
+…是ω变化的各阶长期项系数，它们都是
的函数，积分时并不涉及它们的具体形式，只是在导出结果后引用该公式计算时才会用到其具体形式。
（3）对于长周期项，其变化取决于慢变量ω和Ω的变化，例如ω，因有
，其中ω
1
=o（ε）是一阶小量，不像近点角M的变化速度那么快，即
，其中
。因此，若
，将有
这里A=O（ε）。积分结果给出的是一阶长周期项，而不是二阶长周期项，这就是长周期项积分的降解现象，式（4.36）左端记为
即由此而来。实际上，在不太长的间隔内，
对应的
与二阶长周期项σ
2
（t-t
0
）相当（后面有关章节中将会用到这一点），在经典摄动法中就是给出σ
2
（t-t
0
）这样的结果，而在平均根数法中却以
的形式出现，它保持了周期项的特征，比较合理。由f
3l
积分给出
，以此类推。但这又引起另一问题，即由式（4.36）推导
时，右端被积函数中不仅用到
，对于第六个根数M的相应解
还需要提供
。有关这一点，如果仔细分析，即可知道，它并不影响解的构造，下面第4.5节中将要做相应的说明，并给出推导
的简单方法和结果。
（4）对于平近点角M（t）的摄动解问题，除推导
需要提供
外，在准到二阶长期项的前提下，其零阶长期项
中的
要准到二阶摄动量。根据
的定义
可知，
的计算就要涉及a的
和
，而且计算
时同样要准到二阶摄动量。关于
和
的推导方法和结果，见后面的第4.5节，而在仅有轨道根数σ（t）的初始信息σ（t
0
）=σ
0
的前提下，如何使
的计算准到二阶摄动量，留给读者考虑。
的证明
考虑定常保守系统，它对应一定常 Hamilton 系统，对于非定常情况也无妨，因总可以用正则扩充的办法转化为定常系统。受摄二体问题对应的 Hamilton 函数为
其中V，包含中心天体的质点引力位和各种摄动位，由于摄动力是保守力，则有
μ=G（M+m），R即相应的摄动位或摄动函数。对于受摄二体问题，活力积分仍成立，即
代入式（4.38）得
存在一积分（能量积分）
该积分在参考解
处展开，同时考虑到有R=R
1
+R
2
+···，并将不同性质的项分开，有
“常数项”为
一阶长周期项和短周期项为
二阶长周期项和短周期项为
由于f
1l
=0，而摄动运动方程的这一f
1l
又是由
形成的，那么必有R
1l
=0，因此
显然，
，故证得
