3.5 小参数幂级数解的构造
——摄动法

3.5.1 小参数方程

经常数变易法的处理，原受摄运动方程

的求解问题已转化为相应的摄动运动方程

的求解问题。这里σ表示一6维矢量，6个分量即瞬时轨道根数，或相应的正则共轭变量，或上一节引进的无奇点变量。右函数f _ε 则是6维矢量函数，有

原受摄运动问题的解将由两部分组成，即

其中 和 的表达式是已知的，即第2章中的表达式（2.37）和式（2.46），它们对应于一个瞬时椭圆，σ ₀ 即t ₀ 时刻椭圆轨道根数或相应变量的初值。剩下的问题是如何求解小参数方程式（3.116），给出轨道摄动解σ（t）。

从式（3.116）的表达形式看来，当所要讨论的力学系统涉及多个受摄二体问题时，相应的摄动运动方程的形式和特征均不会改变，仍归结为式（3.116）的形式，只不过其维数增加而已，例如，有两个运动天体时，将由6维变成12维。因此，也能采用单个受摄二体问题的力学模型进行讨论，所有结果都可以毫无困难地推广到多个运动天体情况。

尽管式（3.116）是复杂的非线性方程组，但其右端为小量（以含小参数ε作为标志），给出相应的小参数幂级数解并不困难，已有成熟的摄动法。为了让读者深入了解该方法，以便更好地用于解决后面几章要介绍的卫星轨道力学中的各种受摄运动问题，有必要在天体力学基础上对小参数幂级数解的存在性，以及如何构造相应级数解的基本过程做一简要阐述。

3.5.2 小参数幂级数解的存在性

这是常微分方程解析理论中的一个基本问题。与天体力学密切相关的一个基本定理，即邦加雷（Poincare）定理，叙述如下。

设小参数方程

的右函数X _i 当0≤t＜t ₁ 时对t连续且可展开为x及ε的收敛幂级数，则此方程组的解x _i =f _i （t,ε），当0≤t≤t ₁ ，ε充分小时，可展开为小参数ε的收敛幂级数，t ₁ 满足下列条件，即

该式中出现的M是右函数X _i 在所讨论区间上的最大值，α是与变量x _i 有关的实数。

这一收敛条件可看成相应幂级数解的收敛范围，对于运动天体而言，可理解为该级数解在天体运动弧段s满足下列条件时是有意义的，即

这里改用弧段s，是因为t涉及不同的时间尺度和运动速度的快慢，无“统一”的定量意义，这将会从后面几章的讨论中看清。显然，摄动小参数ε 越小，幂级数解的收敛区间就越大，这是容易理解的。在收敛区间内，可具体构造相应的幂级数解，这样构造的幂级数解虽然只能反映运动天体在局部区间的运动特征，但已能解决卫星运动的实际问题。至于运动的全局结构，已不是本书的讨论内容。

3.5.3 小参数幂级数解的构造——摄动法

如果第六个根数采用过近星点时刻τ，则式（3.116）右函数f _ε 的6个元素的量级均为O（ε），即满足式（3.117）。然而，通常第六个根数是采用平近点角 M，那么上述右函数f _ε 的第6个元素含有一项 ，这时式（3.116）应改写成下列形式

其中

这里将原包含各类摄动源的右函数 f _ε （σ,t,ε）按不同摄动量的大小写成f _N ,N= 1,2,…，是为了表达摄动量的阶，即 f ₁ =O（ε）,f ₂ =O（ε ² ）,…，方便对摄动运动方程式（3.123）构造小参数幂级数解的论述。

式（3.123）的小参数幂级数解的形式为

其中σ ^（0） （t）是对应ε=0的无摄运动解，即

或具体写成

其中σ ₀ （a ₀ ,e ₀ ,i ₀ ,Ω ₀ ,ω ₀ ,M ₀ ）是历元时刻（初始时刻t ₀ ）的轨道根数。不难看出，对ε展开的小参数幂级数解式（3.126），实际上就是解σ（t）在参考轨道（无摄运动解）σ ^（0） （t）“处”的级数展开式。Δσ ^（N） （t）即N阶摄动变化项，简称N阶摄动项。将形式解式（3.126）代入式（3.123），得

该式右端各项中出现的根数σ均应取参考轨道σ ^{（ o）} （t）。若级数解式（3.126）收敛，则可比较展开式（3.129）两端同次幂（ε ^N ）的系数，于是得

显然，这是一个有效的递推过程：由低阶摄动求高阶摄动。将f _ε （σ,t,ε）的具体形式代入后，即可给出幂级数解式（3.126）中各阶摄动项的表达形式，从而构造出摄动运动方程式，即式（3.123）的小参数幂级数解。这一构造级数解的方法，即摄动法，曾是天体力学中求解受摄二体问题的经典方法。但本著作对其原理和具体构造级数解的过程有不同的阐述，特别是作为级数展开“零点”的参考轨道的提法，更具简单的直观性，既有助于读者理解这一级数解的构造原理，又便于对该方法做必要的改进，下一章论述的“平均根数法”就是一个具体实例。

3.5.4周期项和长期项

采用上述经典摄动法构造的小参数幂级数解，如果摄动力是保守力，在有限时间间隔内，通常a,e,i仅有周期变化，Ω,ω有随时间的长期变化，但比近点角M（或E,f）的变化缓慢得多，因为M是直接反映卫星绕中心天体运动的位置根数，而Ω和ω的变化仅仅是由摄动引起的。故通常称a,e,i为“不变量”，Ω和ω为慢变量，而M（或E,f）为快变量。在上述情况下，各阶摄动变化Δσ ^（1） ,Δσ ^（2） ,…中一般包含三种性质不同的项：长期项、长周期项和短周期项，长期项是（t-t ₀ ）的线性函数或多项式，其系数仅是a,e,i的函数，长周期项是由Ω或ω的三角函数构成的，而短周期项则是M的周期函数（也是三角函数）。对于短周期项，也会因某种通约而导致其转化为长周期项（后面有关章节将会讨论它）。另外，还有形如（t-t ₀ ）sin（At+B）和（t-t ₀ ）cos（At+B）等形式的泊松（Poisson）项，也称混合项。

由于参考轨道取无摄运动解σ ^（o） （t），那么将会有如下形式的摄动项出现，即

再按式（3.130）表达的摄动解的构造过程，即可导致 , ,···这种类型的长期项或泊松项的出现。而若积分时，ω取为 ，让其代替ω ^（0） （t）=ω ₀ ，则上述积分变为

此为长周期变化项，这就不会出现上面提到的那类摄动项。上述ω即消除周期变化后只包含长期变化的平均根数，这表示构造小参数幂级数解时的参考轨道改用了平均轨道，具体细节见下一章。

从定性角度看，当摄动力为保守力时，通常 a,e,i 是没有长期变化的，若按上述经典摄动法来构造摄动解，即会导致 a,e,i 出现长期变化，这就“歪曲”了轨道变化的性质。即使从定量角度来看，虽然对于短弧而言无关紧要，但对于长弧情况，长周期项与长期项的差别就明显了，这将影响解的精度。因此，对于某些实际问题（特别是轨道变化相对较快的人造卫星运动的有关问题），采用无摄运动解作为参考轨道来构造相应的摄动分析解，并不是一个理想的选择，对它进行改进是完全有必要的，下一章将介绍相关内容。 a4BCVF/9xYNRBkRvEQzMtnO1iImMjJQUK+1MGq/ecEqavsM4pCRLR6AutNBc9FpK