3.4 摄动运动方程的奇点与处理方法

从摄动运动方程式（3.67）可以看出， 和 的右端含有因子 ，而 和 的右端含有 ，因此，e=0和sini=0（i=0°或180°）是摄动运动方程的奇点。它将在后面几章给出的摄动解中反映出来，当e≈0,i≈0或180°时，解就失效，但是，相应的运动仍然是正常的，例如，近圆轨道显然是存在的。这一小e，小i问题的产生，是由于相应的基本变量的选择不当引起的。因为当e=0时，ω不确定，与之有关的M也随之不确定；而当i=0°或 180°时，Ω不确定，与之有关的ω也随之不确定。这种选择不当，在上述方程中必然要反映出来，只要对相应变量的选择加以修改，即可消除上述奇点。

3.4.1 适合任意偏心率（0≤e＜1）的摄动运动方程

引进下述变量

对e=0而言是一组无奇点变量，显然，当e=0时，ξ,η,λ均是有意义的。

按上述定义和下列关系

即可导出以新变量表达的无奇点摄动运动方程，其形式如下。

1. 型

2.S,T,W型

该式中， 。 和 同式（3.68）中的形式。

上述变换过程中用到

在新方程中已不再出现因子1/e，即 。

关于ξ,η的选择，作者过去的几本著作（见本章参考文献[4]和[6]）及相关文章中曾采用过下列形式，即

多年前在作者的研究工作和文字材料中已改为式（3.82）的形式，并已在实际工作中正式采用。读者如果仍要按原选择引用相应的计算公式，只要把相应的η全部改为（-η）即可。

3.4.2 适用于任意偏心率（0≤e＜1）和倾角（0≤i＜180°）的摄动运动方程

下述变量

对i=0而言是一组无奇点变量，显然，当i=0时，h,k, 是有意义的。一般不会出现i=180°的情况，而同时出现e=0和i=0的情况是有的，为此引进下述无奇点变量，即

相应地有

针对实际应用情况，下面列出S,T,W型的无奇点摄动运动方程，即

上述各方程右端一些中间量n,e ² ,p,s in ² i, ,…的计算公式为

方程右函数中的摄动加速度S,T,W三个分量可由摄动加速度 构成，转换为

其中单位矢量 , 由式（3.108）和式（3.109）表达，即

相应地有

在转换中通过 给出S,T,W时涉及的 和 按式（3.111）和式（3.112）计算，即

3.4.3 无奇点正则共轭变量

只要变量选择不当，小e和小i问题在正则运动方程中同样要出现，下面列出一组无奇点正则共轭变量，即消除奇点e=0的正则共轭变量 ，即

其中

这组无奇点变量与前面由式（3.82）定义的那一组相对应。式（3.113）和式（3.114）中出现的L,G,H,l,g,h即原德洛纳变量。

这里不再列出由上述无奇点正则共轭变量表达的摄动运动方程，因为在求解摄动运动方程时，若采用正则共轭变量，其解法主要是变换方法，它只涉及相应的Hamilton函数的具体形式，见后面第10章的相关内容。 eas8lSlOCHyOh1T2PDVco3QTiEtA0CLQNKYWTWvuH2M0rsuE90YbEul25fXg4q2+