3.3 摄动运动方程的各种形式

这一节将列出常用的几种摄动运动方程的具体形式，以便后面几章针对各种不同摄动源的特征采用相应的摄动运动方程，这也是实际工作的需要。

3.3.1 型

关于摄动函数R，在具有非球形引力中心天体（如地球）的受摄二体问题系统中，中心天体的引力位是

其中V ₀ =μ/r为球形部分，且有

那么，ΔV就是该系统的摄动函数，即

又如，摄动源为第三体引力时，相应的摄动函数为

其中m´和 分别为摄动天体的质量和位置矢量。在受摄二体问题系统中，有m´≪M（这里的符号M是中心天体的质量，对地球，即E）或r≪（Δr´,），或两者兼而有之。对地球卫星的运动而言，考虑太阳引力摄动时，即满足条件r≪（Δ,r´），而考虑月球的引力摄动时，则同时满足上述两个条件，即

对存在摄动函数R的情况，利用常数变易原理导出的方程，称为拉格朗日（Lagrange）型的摄动运动方程，其形式为

摄动运动方程式（3.67）有一明显特点：在前三个方程式的右端项中，只涉及 ，而在后三个方程式的右端项中却只涉及 ，具有一种“对称性”，这也是三个角变量Ω,ω,M与三个角动量a,e,i之间的差别，特别是角变量中的快变量M，其变化的快慢主要由运动天体的平运动角速度 所确定。

3.3.2（S,T,W）和（U,N,W）型

在有些情况下，摄动力并非保守力，即便是保守力，也可采用摄动加速度分量的形式来建立相应的摄动运动方程，如第3.2节的内容。通常是将 分解成径向、横向和轨道面法向三分量，即记为S,T,W；或分解成切向、主法向和次法向（轨道面法向）三分量，分别记为U,N,W。在上一节中已给出以S,T,W型摄动加速度分量按常数变易原理导出的方程，该类型的方程很容易转换成 U,N,W 型的方程，这两种形式统称为高斯（Gauss）型摄动运动方程，下面一并整理列出。

1.S,T,W型

其中u=f+ω,p=a（1-e ² ），f和E分别为真近点角和偏近点角。

2.U,N,W型

和 的形式与式（3.68）中的形式相同。

关于S,T,W三分量如何给出，这要根据具体摄动源的状况而定。如果不易直接给出，那么当摄动力是保守力，并已知摄动函数R的形式时，则可由式（3.70）给出S,T,W，即

如果 的直角坐标分量 容易给出，则可由式（3.71）转换关系，即

导出S,T,W，转换矩阵（ZH）由三次旋转构成：（ZH）=R _z （u）R _x （i）R _z （Ω），就是前面式（3.55）的逆变换，其具体形式为

于是，由 到（S,T,W）的转换公式即可写成

其中 分别为径向、横向和轨道面法向单位矢量，有

这里的 和 与第2章中的 和 方向不同，其表达式为

（S,T）与（U,N）之间的转换关系为 ^[1]

因此，式（3.69）容易由式（3.68）导出。

3.3.3 摄动运动方程的正则形式

对于Hamilton系统，采用分析力学方法建立相应的摄动运动方程也是容易的，这一内容涉及分析力学，相关细节暂不再详细介绍，有关内容将在第10章中作为专题论述。为此，下面直接列出相应的摄动运动方程。

在轨道力学中通常采用的正则共轭变量是德洛纳（Delaunay）变量：L,G,H（角动量），l,g,h（角变量），它们与椭圆轨道根数之间的关系为

相应的摄动运动方程的形式极其简单，有一种共轭对称性，即

其中F为Hamilton函数，与常用的Hamilton函数K（区别于变量H）相差一符号，即

因此式（3.80）也与常用形式相差一符号。 9tPxvluyWdBEuU0E/zZLDbAlZc0Dbw5okqaxEK3YXmAho/LwJAZAOoF4RfAAZePv