2.6 抛物线轨道和双曲线轨道

尽管从卫星轨道力学方法这一角度来看，显然应该着重讨论椭圆轨道及其变化规律，但考虑到卫星轨道过渡等问题中，有可能涉及抛物线和双曲线轨道，特别是双曲线轨道。因此，作为二体问题，对这两种轨道作一简单介绍也是有必要的。此时已不是环绕型的探测器（卫星），不妨就泛称其为航天器。

2.6.1 抛物线轨道

此时，e=1,a→∞，故面积积分式（2.19）和轨道积分式（2.17）变为

该抛物线的焦点仍是地球质心，p是半通径，q是近地距。仍定义f为真近点角，有

那么式（2.138）和式（2.139）即可分别写成下列形式，即

将式（2.142）代入式（2.141），积分得

其中，τ是最后一个积分常数，与椭圆运动类似，它也是航天器过近地点的时刻。因此，抛物线轨道根数由于e=1只剩下5个，即 i,Ω,q,ω,τ。

2.6.2 双曲线轨道

此时e＞1，相应的面积积分式（2.19）和轨道方程式（2.17）变为

其中

这里的p也为半通径，p和a的几何意义如图2.4所示，f是真近点角，ω是近地点角距，

而相应的近星距为

活力公式（2.21）在这里变为

类似于对椭圆运动的积分方法，由式（2.149）利用式（2.144）消除 得

引进辅助变量E，有

代入式（2.150），积分得

其中τ为第六个积分常数，也是过近星点的时刻。虽然这里引进的E与椭圆运动中的偏近点角E意义不同，但上述f,E和M之间的几何关系与椭圆运动中的相应关系类似，即

由轨道方程式（2.147）不难看出，1+ ecos f =0,r→∞，由此可知

式（2.153）类似椭圆运动中的Kepler方程，但由于e＞1，不能用简单迭代法求解，但用牛顿迭代法，也容易由给定的e,M求出E。若取初值 ，则改正公式为

一般情况下，迭代过程中式（2.157）的改正部分只要取到ΔE的一次项，即 。为此，下面给出一算例。

由e=1.5, ，求E值。经计算，取 ，相应的改正过程为

E ^{（ 4）} 对应的e shE-E=0.785398163，与M值在9位有效数字上完全相同。当然，还可充分利用计算机的条件，采用更快速的迭代算法，这里只是举一个简单的算例供读者参考。

2.6.3 位置矢量和速度矢量的计算公式

对于上述两种轨道，航天器的位置矢量 的表达式与椭圆轨道相同，即

其中 和 即近地点方向和半通径方向的单位矢量，它们的表达式与椭圆运动中的形式相同，见式（2.43）和式（2.44）两式。

关于速度矢量 的表达式，两种轨道稍有不同，对于抛物线轨道和双曲线轨道分别为 1ih6Tg8JIoTHTPz4oHnC/WGmoeByKxK8iN494zMIKt1DumakXTrc7TavGztlY/rG