2.5 椭圆运动的展开式

在很多问题中，需要将有关量通过平近点角M表示成时间t的显函数，但由Kepler方程可知，这将涉及超越函数关系，无法直接达到上述要求。因此，必须将f,E, 等量展开成M的三角级数，而在这些展开式中又要用到两个特殊函数：第一类贝塞耳（Bessel）函数和超几何函数（或称超几何级数），故首先简单地介绍一下这两个函数的有关知识，详细内容请阅读特殊函数一类书籍。

第一类贝塞耳函数J _n （x）是二阶线性常微分方程

的一个解，它由下列级数表达，即

其中n为整数（n=0,1,2,…），x为任意实数，而k!由式（2.102）定义，即

J _n （x）又是 展开式的系数，即

其中e是自然对数的底，而z可以是复变量。由此可给出J _n （x）的积分表达式，即

根据J _n （x）的定义不难得出下列一些重要性质，即

超几何函数F（a,b,c;x）是二阶线性常微分方程

的一个解，即

其中a,b,c是常数。

2.5.1 sin kE和cos kE的展开式

这里直接列出展开结果，它们在本章参考文献[1]～[3]中有详细的推导。对k＞ 1有

对k=1有

2.5.2 E, 和 的展开式

由

立即可得

2.5.3 sin f,cos f和f的展开式

利用偏导数关系式（2.85）可得

于是有

由轨道方程式（2.20）给出

利用sin f和cos f的展开式，取到e ⁴ 项有

2.5.4 和 的展开式

这里n和m均为任意整数（包括零）。若仅用上述基本展开式，要给出这两个函数对M的三角级数（特别是一般表达式）那是相当困难的，下面就对这两个函数直接进行傅里叶（Fourier）展开。函数F（f）展开成傅里叶级数的基本形式为

是偶函数，b _p =0，且

对于被积函数的第二部分，可令p=-p，对应p=-1,-2,…,-∞，于是有

其中

是奇函数，a _p =0,b _p 的计算公式为

对被积函数第二部分的处理同上，结果得

由于上述两个函数的展开式系数相同，可用指数形式将这两个函数用统一形式来表达，即

其中 是虚数单位。因

式（2.123）中的 就是由式（2.120）表达的 ，称为汉森（Hansen）系数，它是偏心率e的函数，无法用初等函数来表达它的具体形式，只能引用贝塞耳函数和超几何函数，详细推导见本章参考文献[1]和[11]，这里直接列出展开结果，即

其中

由式（2.120）即可给出

又根据 可知

由上述展开式可以看出，要具体给出 和 的展开式，还是较麻烦的。为此，针对实际应用状况，作者给出了准到 的 的表达式 ^[12] ，具体形式为

以上各展开式的系数都是关于偏心率e的无穷级数，只有当e＜e ₁ =0.6627…时才收敛，e ₁ 就称为拉普拉斯（Laplace）极限。

除上述展开式外，有些问题还需要其他类型的展开式，下面给出。

2.5.5 ,E,f -M 对f的展开式

其中p为正负整数，β的意义同前，见式（2.125），T _n （p,q）由超几何函数定义 ^[2] ，即

当p=-1,-2时，有

于是可得

利用这两个展开式，由

积分可得 +ONkYTUQO5memez3XpPlxuPwB8uzFYHyrWpzjlw/LI1sB6wTlYc4MuhXUHEDIIHQ