2.2 椭圆运动的基本关系式

上述六个积分已完全确定了二体问题意义下卫星的运动，但这六个积分的表达形式对某些实际问题引用不便，有必要在它们的基础上导出一些常用关系式。下面将根据理论研究和实际工作的需要进行整理，所涉及的量不外乎轨道根数、时间t、近点角、向径和速度等。

2.2.1 椭圆运动中各量之间的几何关系

首先从图2.3和开普勒方程式（2.28）不难看出，三种近点角的象限关系很清楚，它们同时处在[0,π]或[π,2π]区间上，这是一个很重要的关系，它们之间的联系即

另外，根据椭圆的性质可知，图2.3中的 ，于是有

由此可立即导出

2.2.2 位置矢量 和速度矢量 的表达式

作为二阶方程式（2.1）的完整解，应该有

既然六个积分已得到，那么可以写出式（2.36）的具体形式。这里的积分常数C ₁ ,…,C ₆ 即前面的六个轨道根数，其中C ₆ 是τ，如果改用M，式（2.36）中的t将包含在M中。

显然有

其中 和 分别表示近地点和半通径方向的单位矢量。通过坐标旋转，很容易给出它们在直角坐标系O-xyz中的表达式。若在以轨道面作为过渡直角坐标系O-XYZ中的XY坐标面，X轴指向近地点方向（见图2.2），则相应的单位矢量 的形式为

于是O-xyz坐标系中 的表达式将由下列矩阵旋转得到，即

其中三个旋转矩阵的形式为

至于 的表达式，只要将R _z （-ω）改为R _z （α）,α=（ω+90）° 即得。

为了某些应用的需要，这里将 和 的具体表达式写出，即

关于 ，根据二体问题的性质，由 的表达式（2.37）可得

由面积积分式（2.30）给出 或由Kepler方程式（2.32）给出 ，即可具体写出 的表达式，其形式为

有时需要将六个积分常数改用初值t=t ₀ , , 来表达，即

这容易从表达式（2.37）和式（2.46）转换而得。首先将 和 表达成 , 的形式，由

可解出 和 ，以此代入式（2.37）和式（2.46），经整理即可将 和 用 , 的“线性”组合来表达，即

但F,G,F´,G´仍与 , 有关。F,G的形式为

其中Δt=t-t ₀ ，ΔE=E-E ₀ ，而a和ΔE由式（2.51）计算，即

由于

式（2.52）类似于Kepler方程，故ΔE的计算还是比较方便的，特别当Δt不大时，比解Kepler方程（解法在后面第2.3节中介绍）还快速。关于F´,G´，根据 , 可导出

不难看出，当Δt比较小时，有

根据F，G，F´，G´的上述特征，可以采用Δt的幂级数来表达。关于这一表达形式，本章参考文献[5]和[6]，以及有关书籍中均有具体形式，为了让读者了解与其有关的知识，这里简单介绍一下其由来。凡是学习过常微分方程的读者都知道：只要运动方程式（2.1）的右函数满足相关条件（这里不再具体写出，式（2.1）确实满足该条件），其满足初始条件的解即存在，且可展成时间间隔Δt=t-t ₀ 的幂级数，即

其中 为 对t的k阶导数在t ₀ 时刻的取值，即

要给出级数解的表达式（2.57）满足初始条件的具体形式，就需要计算各阶导数 在t ₀ 处的值 。事实上有 ，而二阶以上各阶导数值 均可根据运动方程式（2.1），由 和 构成，即

因此，表达式（2.57）可以按 和 整理为

对于本章论述的由运动方程式（2.1）表达的二体问题，F和G即可由Δt的幂级数表达。为了在实际工作中引用方便，且有利于量级分析，在具体给出F和G的展开式时，采用归一化单位，即采用相应的质量和长度单位，使引力常数G=1和μ=G（E+m）=1，这里的质量单位是（E+m），长度记作L。对于人造地球卫星的运动，取m=0,μ=GE= 1，长度单位L即地球参考椭球体的赤道半径a _e ，相应的时间单位即 。在此单位系统中，有

其中

相应地有

不难看出，在上述归一化单位系统中，若将r ₀ 近似地看做卫星轨道的半长径a，则 ,n即平运动角速度。于是F,G的量级特征为

其中Δτ=nΔt是运动弧段，这一特征在卫星初轨确定中是一个重要的初始信息。不仅如此，即使对于受摄二体问题，或一般（n+1）体问题（其中1个运动天体和n个外力源）只要相应的运动方程式（2.1）右端增加的外力因素能够提供数学表达形式，上述解式（2.57）就可构成，且同样可以整理式（2.60）的形式。这在初轨确定中会得到应用，详见本套专著第4本 ^[9] 的第4章。 AUX4VZOz+aEmQt5cbaITAienzgDi9+q1zwAmyWbCl6CSvpgXdjAqVHnWB+H68Vgw