2.1 二体问题的解
——六个独立积分

为了语言表达方便，以地球卫星为例，作为二体问题，卫星和地球均作为质点对待。分别将该二天体的质量记做m和E，讨论卫星相对地球的运动。此时卫星环绕地球的运动方程为

其中 是中心天体地球到运动天体（卫星）P 方向的单位矢量。相应的运动坐标系O-xyz（见图2.1）的原点O在地球质心上，但基本平面（xy坐标面）可有多种选择。根据第1章的讨论，如不另加说明，就是 J2000.0地心天球坐标系，xy坐标面与J2000.0地球平赤道面一致，x轴指向J2000.0平春分点方向。

为了简便，常记

式（2.1）对应的是一有心力问题，不仅是可积的（这里的可积是指上述微分方程的解可以写成求积形式），而且可以具体给出六个积分的完整表达式，下面将作具体介绍。

2.1.1 动量矩积分（或称面积积分）

根据有心力的性质，可直接写出式（2.1）的动量矩积分，由该方程也容易推出该积分。若记 为面积速度矢量，则由式（2.1）可得

这表明 为一常矢量，卫星相对地球的运动为一平面运动。相应的动量矩积分可写为

其中 为面积速度常数，单位矢量 即表示面积速度方向，它是卫星运动平面的法向单位矢量。

如果用卫星运动轨道来描述动量矩积分的几何意义，则可引用辅助天球（见图2.2），图中大圆AA´和BB´分别表示基本平面（xy坐标面）和卫星轨道在辅助天球上的投影， 方向即轨道面法向，i就是卫星轨道面与基本平面的夹角，Ω即轨道升交点方向N（或称节点）的经度（赤经），从x方向起量。利用球面三角形的余弦公式（或用坐标旋转的方法），导出法向单位矢量 在坐标系O-xyz中的表达式为

动量矩积分式（2.3）包含了h,i,Ω三个积分常数，h是面积速度的两倍，i,Ω则确定了轨道平面的空间定向。

从式（2.3）的导出过程不难看出，只要是有心力，即

必存在形如式（2.3）的积分，并不要求如同式（2.1）右端的 那种简单形式，其中λ,ψ是常用的球坐标的另两个分量，即经、纬度。

2.1.2 运动平面内的轨道积分和活力公式

既然是平面运动，而相应的平面已由（i,Ω）确定，那么，接着就可在这一确定的平面内讨论降阶后的方程。引入平面极坐标（r,θ），运动方程式（2.1）的径向分量为

而横向分量为

此方程给出一个积分，即

由空间极坐标（三个轴方向的单位矢量分别记作 , 即前面的 ）中 和 的表达式

立即可得

这表明式（2.7）就是动量矩积分式（2.3）的标量形式，或称面积积分。式（2.6）和式（2.7）构成了平面运动系统对应的三阶常微分方程，需要再寻找三个独立积分。

上述方程组的特点是不显含自变量t，由常微分方程的基本知识可知，对于这类方程，通过分离自变量t的方法可使它降一阶，即能够首先讨论r对θ的变化规律。为此，记 ，由式（2.7）得

将这一关系代入式（2.6），即可给出r对θ的二阶方程。但相应的方程仍不便于求解，如果在降阶的同时，再作变量变换，即

有

利用这一关系即可得到u对θ的一个二阶常系数线性方程，即

这显然是可积的。不难看出，如果将原式（2.1）右端的 改为 ,N=0,±1,±2,…，同样可按上述方法处理，相应地有

或

虽然不再像式（2.13）那么简单，但仍有不含自变量θ的特点，由常微分方程知识可知，对于这类方程，可令

即可将其化为一种简单的可积形式。

回到式（2.13），容易给出一轨道积分，即

e和ω即两个新积分常数。这是一圆锥曲线，在一定条件下它表示椭圆，中心天体地球（O点）在其一个焦点上，考虑到本书的内容，主要讨论椭圆运动的情况，至于抛物线和双曲线轨道，将在本章最后一节作简单介绍。对于椭圆，可令

那么积分式（2.7）和式（2.17）又可写为

积分常数h由a代替，这里p是椭圆的半通径，a是半长径，e是偏心率，ω则称为卫星运动过近星点P的幅角（见图2.2），因在P点方向θ=ω时，r达到最小值，故称P点方向为近星点方向。注意，近星点幅角ω和极坐标变量θ都是从节点N方向起量的，这在二体问题中无区别，当有摄动时，椭圆随时间变化，升交点方向也在变化，ω应从这变化的升交点方向起量，而极坐标变量θ却仍应从一个定义的不变方向起量，两者是有区别的。

将r=r（θ）的关系代入式（2.19），原则上可以给出最后一个与时间t有关的积分。这里暂时放一下，先导出椭圆运动的几个常用关系。由式（2.19）和式（2.20），经简单的运算可得

此即活力公式，或称活力积分，但与轨道积分并不独立。另外，既然是椭圆运动，那么卫星的向径在一个周期T内扫过的面积就是椭圆的面积 ，由此可知两倍的面积速度h为

整理后可给出如下关系式，即

若引进平运动角速度n 2π T= ，则上式又可写成

这两个表达式就是万有引力定律导出的开普勒（Kepler）第三定律。

这里要说明一点：关于上述活力公式（2.21），与动量矩积分式（2.3）的获得类似，也可直接由运动方程式（2.1）两端点乘 获得，即

由此立即可给出一积分为

此即活力积分，实际上就是一般N（N≥2）体问题10个经典积分中的能量积分在上述二体相对运动中的转型。但从二体问题求解的角度寻找六个独立积分的过程来看，上述处理直至轨道积分式（2.17）共五个独立积分的给出，是为了进一步寻找10 个经典积分以外的另两个独立积分，其中之一即轨道积分，尽管它对应二阶方程，它与活力积分一共只有两个是独立的，故称式（2.21）为活力公式为宜。剩下的一个独立积分必与自变量t（轨道运动的反映）有关。

为了运算方便，在寻找第六个积分时，不直接引用式（2.19）按 求解，而是利用式（2.21）按 积分，有

即

通过式（2.24）消去μ整理后得

对于椭圆轨道，r的极大值和极小值分别为

因此有 ，故可按式（2.27）引入辅助量E，即

或写成

代入式（2.25）可得

由此便可给出第六个积分为

这又称为开普勒方程，τ是积分常数。当t=τ时，E=0，相应的r=a（1-e）=r _min ，故τ就是卫星过近星点（这里即近地点）的时刻。

最后引进两个角度f和M，定义为

f,M和E是三个角度量，分别称为真近点角、平近点角和偏近点角，都是从近地点开始计量，E的几何意义如图2.3所示，图中O是椭圆焦点（也是坐标系原点），O´是辅助圆的圆心。显然，在二体问题中，面积积分式（2.7）可简化为

上述六个独立积分常数实为描述卫星轨道的一组独立参数，通常称为轨道根数，只要初始条件给定，它们就完全被确定。根数a,e是确定轨道大小和形状的参数；i,Ω和ω是轨道平面和拱线（长半轴）的空间定向参数；而第六个根数τ通常是被三种近点角所代替，特别是平近点角M常被引用，三种近点角本身同时包含时间t，而不是常数，即随t而变化，故又称为时间根数。特别要强调一点：上述六个轨道根数a,e,i,Ω,ω,M（f,E），也常称为开普勒（Kepler）根数，这一称呼联系到天体力学的发展史，即上述由建立在 Kepler 三定律基础上的与r ² 成反比的牛顿引力作用所确定的运动（包括后面第2.6节要介绍的抛物线和双曲线运动）统称为Kepler运动。