4.6 圆型限制性三体问题的周期解

关于周期解，事实上，圆型限制性三体问题会后坐标系中的平动解，就是相应惯性坐标系中的一类周期解，例如，地—月系中的L ₁ 点，就是在地、月引力共同作用下与月球以相同角速度绕地球运行的圆轨道，而这一节要介绍的却是会后坐标系中的另一类周期解。

记 ，且将圆型限制性三体问题的运动方程式（3.20）改写为

方程的右端函数不显含时间，这样的动力系统称为定常动力系统。假设t ₀ 时刻从点X ₀ 出发，相应的轨道记为

则（周期轨道）满足

其中T为周期。周期轨道是动力系统中的一类特殊轨道，通常起着划分相空间的作用，对理解复杂系统的动力学行为十分有益。在实际航天任务中，这类轨道及与之相关联的拟周期轨道、不变流形等也有着十分重要的应用。

对定常动力系统而言，周期轨道通常是成族出现的。所谓“周期轨道族”，可以理解为某类周期轨道的集合，该集合内的周期轨道成员连续地依赖于某一个或某几个参数。在圆型限制性三体问题中存在很多周期轨道族，而某些周期轨道族的出现与否又与质量参数有关。迄今为止有许多学者对这个问题进行了研究并给出了不同的分类，但仍不断有新的周期轨道族被找到，本书作者也曾对此问题开展过相关研究 ^[10-14] 。下面介绍一些比较重要的周期轨道族，沿用了Strömgren的记法 ^[1] ，采用的质量参数均为μ=0.01。

1.周期轨道族（a）

从共线平动点L ₃ 点生发出的周期轨道族，该族轨道部分成员的形状如图4.10所示。关于该轨道族，以及下面给出的周期轨道族（b）—（c）的详细演化细节，读者可参见文献[13]和文献[14]。

2.周期轨道族（b）

从共线平动点L ₁ 点生发出的周期轨道族，该族轨道部分成员的形状如图4.11所示。

3.周期轨道族（c）

从共线平动点L ₂ 点生发出的周期轨道族，该族轨道部分成员的形状如图4.12所示。

4.周期轨道族（d，e）

从三角平动点L ₄ 点（族 d ）和L ₅ 点（族 d ）生发出的周期轨道族。由下一章节的内容可知，三角平动点附近实际存在两类周期轨道族，分别为长周期轨道族与短周期轨道族，部分成员轨道的形状如图4.13所示，左图为长周期轨道族，右图为短周期轨道族。周期轨道族e的成员与此图关于x轴对称，进一步的细节读者可参见文献[10-12]。

除上述周期轨道族外，作者又给出了如下4类周期轨道族（f）～（i）。

5.周期轨道族（f）

围绕质点m ₂ 的逆行周期轨道族，其极限情形可视为围绕m ₂ 的逆行卫星轨道，该族部分成员轨道的形状如图4.14所示。

6.周期轨道族（g）

围绕质点m ₂ 的顺行周期轨道族，其极限情形可视为围绕m ₂ 的顺行卫星轨道。该族部分成员轨道的形状如图4.15所示。

7.周期轨道族（ h ）

围绕质点m ₁ 的逆行周期轨道族，其极限情形可视为围绕m ₁ 的逆行卫星轨道。该族部分成员轨道的形状如图4.16所示。

8.周期轨道族（i）

围绕质点m ₁ 的顺行周期轨道族，其极限情形可视为围绕m ₁ 的顺行卫星轨道。该族部分成员轨道的形状如图4.17所示。