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既然Jacobi积分式（3.40）是圆型限制性三体问题的一个积分，那么下列曲面
即为零速度面，在此曲面上小天体的运动速度为零，积分常数由初始条件确定，即
零速度面的几何结构将随 Jacobi 常数 C 值的变化而变化。为了便于看清这一变化，用零速度面在x-y平面上的截线（零速度线）来描述，随C值的变化如图4.3～图4.6所示。
图4.3 C>C 1 的情况
图4.4 C 2 <C<C 1 的情况
图4.5 C 3 <C<C 2 的情况
图4.6 C 4 <C<C 3 的情况
从图4.3～图4.6的变化中可以看出，当C值较大时（对应速度v较小），如图4.3所示，零速度面将整个空间分为四个部分，而随着C值的减小，分别包围两个主天体P 1 和P 2 的零速度面逐渐增大、靠近、相接（在L 1 上）直至连通，如图 4.4所示；当C值再减小时，内部的零速度面扩大，与外部逐渐缩小的零速度面靠近、相接（在L 2 上）而连通，如图4.5所示。最后通过L 3 进而变为如图4.6所示。
上述零速度面从靠近、相接（在L i ，i=1，…，3）直至连通的变化，都是通过 5个平动点发生的，故将相应的Jacobi常数C i 称为临界值。
在图 4.3～图 4.6 的四幅图中，零速度面将整个空间分为两种区域，阴影部分对应v 2 ＞0，此即小天体运动的可能区域，而阴影外的另一部分则对应v 2 ＜0，即运动的禁区，小天体不可能从v 2 ＞0的阴影区穿过零速度面而进入禁区（因为v 2 ＜0是不可能的）。小天体在运动过程中若达到零速度面，那只可能沿零速度面的法线方向与其相接，而相接后又沿此法向返回原区域。
由 Jacobi 积分可以看出，积分常数 C 值的减小就意味着在同一位置处速度的增大，这表明，随着小天体初始速度的增大而其相应的运动可能区域将随之增大。特别是 C 2 ＜C＜C 1 的情况，不仅仅是一个简单的运动可能区域增大，更重要的是小天体的运动可能区域特征发生了变化，变为从只能在主天体P 1 或P 2 附近的区域运动，到可能从一个主天体附近的局部区域运行到另一个主天体附近的局部区域。这种运动状态曾用来解释密近双星两子星之间的物质交换，以及洛希（Roche）瓣的形成 [3-5] 。
最后说明一点：上述初始状态满足C 2 <C<C 1 ，只是小天体能从一个主天体附近的局部区域运行到另一个主天体附近的局部区域的必要条件，有关问题的讨论可见本章参考文献[6]及该文中所提到的相关工作和结果。
上述运动可能区域只是在圆型限制性三体问题模型下的一个理论上的 运动可能区域， 以月球探测器为例，若月球绕地球运行的轨道为圆，那么，要从地球上发射一个月球探测器，在低轨初始停泊轨道上，必须经变轨让其运行速度达到使相应的C值满足C 2 ＜C＜C 1 ，它才有可能从地球附近飞往月球。若探测器的轨道速度大到满足C 3 ＜C＜C 2 ，则它不仅可以飞往月球，而且还可能从月球附近飞离地—月系统，变为人造小行星。下面介绍几个有关概念。
关于深空探测器 P 的运动，往往是在两个大天体P 1 和P 2 共同作用下的运动。由于探测器 P 在运动过程中可能会接近P 1 ，也可能会接近P 2 ，通常不能处理成受摄二体问题，对应的是一个限制性三体问题。但是，由于探测器总是要接近被探测天体（如P 2 ），那么，当探测器P进入以P 2 为中心的某一范围内，P 2 的引力作用将成为探测器运动的主要力源，在此范围内可近似地看成 P 相对P 2 运动的一个二体问题，而在此范围外，则近似地看成P相对P 1 运动的二体问题，这种近似将有助于对一个复杂问题进行初步分析。关于这一范围，有如下两种定义。
1.引力范围
如图4.7所示，在P 2 的引力范围边界上，
P受到两个大天体P 1 和P 2 的引力大小相等，有
图4.7 P 2 的引力范围与作用范围
式中m
1
和m
2
分别为两个大天体P
1
和P
2
的质量。当
较小时，根据图4.7的几何构形，可将L点到P
2
的距离近似作为引力范围的半径，记作r
1
。由此根据式（4.24）容易给出
式中
，即两个大天体P
1
与P
2
之间的距离。
2.作用范围
引用上述引力范围做简化不太合理，因在考虑 P 相对P 2 （或P 1 ）的运动时，另一大天体P 1 （或P 2 ）对该系统存在“摄动”作用。P 相对P 1 和P 2 的运动方程分别为
考虑两种作用力的平衡，即定义出作用范围，相应的边界由式（4.27）确定，即同样以图4.7中L点的位置作为边界，在
较小时，给出作用范围的半径r
2
为
这种作用范围可以用来为深空探测器的发射轨道设计提供初始依据，在此基础上也就引进了双二体问题拼接方法，在发射轨道设计中能起到辅助作用。
由于上述引力范围只反映一个简单的“静力”平衡条件，对于动力学问题没有任何意义，因此，通常采用的是作用范围。正因为如此，人们往往就将作用范围称为引力范围，而无须再区分上述两种范围，在后面各有关章节中不再说明。
3.Hill范围
在讨论探测器（如月球探测器）发射条件时，往往需要给出另一种范围，即必须同时考虑P
1
（地球）和P
2
（月球）的引力作用，才能确切地给出从地球上发射探测器能达到月球附近的最小速度，此即讨论的问题。当初始条件（P相对P
1
的位置矢量
和速度矢量
）确定的Jacobi 常数C值分别为 C＞C
1
和C
2
＜C＜C
1
时，它们各对应如图4.3和图4.4所示。
图4.8 Hill范围
当C＞C 1 时，探测器只能在地球（P 1 ）附近，如图4.3所示，那么图4.8即为临界状态。此时围绕P 1 和P 2 的范围（阴影部分）即为Hill范围，L 1 即4.1节中给出的第一共线平动点。若以L 1 到P 2 的距离作为P 2 的 Hill 范围大小，记作r 3 ，则由式（4.7）可得
对于太阳系主要的几个系统（地—月系统和日—地+月系统等），作为各自系统中较小天体P 2 的上述三个范围的数据列于表4.3中。
表4.3 三个系统的引力范围、作用范围和Hill范围
（续）
表4.3中P 1 与P 2 之间的平均距离A，除地—月系外，均采用了相应的轨道半长径的数值。其他大行星的上述三个范围可分别由式（4.25）、式（4.28）和式（4.29）计算，这里不再具体列出。
通常所说的第二宇宙速度v 2 （又称为脱离速度），就是脱离地球引力场的最小速度，若从地球表面发射探测器，即相对地球的抛物线（a→∞，e=1.0）速度，有
对于从地球上发射深空探测器而言，人们首先关心的是第二宇宙速度v 2 ，但是，如果考虑到月球的引力加速作用，发射速度并不需要这么大，下面将具体论述。
由本章第4.3.1小节的讨论（见图4.3～图4.6及相关文字）可知，若需将月球探测器从近地空间送至月球附近，则发射轨道的能量必须满足C≤C 1 的条件，即必须使L 1 附近的零速度曲面“开口”使得探测器能够通过。这里以临界情形C=C 1 为例，探测器从环绕地球的停泊轨道上出发无须达到相应的第二宇宙速度即能满足此条件，下面给出一个算例。
假设停泊轨道为GEO轨道，从该轨道高度出发的第二宇宙速度为
而根据C=C 1 的条件容易给出探测器在GEO轨道上出发点的速度为
即v 0 ＜v 2 ，图4.9就是这条转移轨道在会合坐标系下的示意图。
图4.9 地—月会合坐标系下月球探测器的转移轨道示意图
虽然v 0 ＜v 2 ，但就该发射轨道而言，一般需要绕地球多圈才能到达月球，而且转移过程还与地—月系L 1 点（及其附近的条件稳定轨道）的稳定与不稳定不变流形密切相关，但这些内容已超出本节的范围。这里的算例主要是为了表明通常所说的第二宇宙速度v 2 与发射月球探测器的最小速度之间的差别，有关内容详见第8章。