3.5 受摄圆型限制性三体问题的运动方程

3.5.1 基本方程的建立

在太阳系实际引力模型下，纯粹意义上的圆型限制性三体问题是不存在的，因为除了两个主天体之外，还存在其他大质量天体，两个主天体的轨道是缓慢变化的椭圆。对某些限制性系统（如地—月系），这些摄动因素甚至能改变系统的动力学特征（如稳定性） ^[9，10] ，因而必须加以考虑。通常情况下，运动方程可以写成圆型限制性三体问题的运动方程，加上摄动项的形式，见式（3.20），因此不妨称这样的力学模型为受摄圆型限制性三体问题。相比圆型限制性三体问题，实际力模型中的主要摄动因素来自两方面：两个主天体的轨道偏心率（实为两个变化椭圆轨道）和其他大天体的引力作用。这里所说的太阳系实际引力模型，是指考虑了太阳系中大天体的真实运动及其质点引力模型，大行星和月球的运动状态与小天体的运动无关，它们的位置可由相应的历表给出，这是上一章第2.4节中的内容。当然，在具体问题中，不必考虑太阳系中所有大天体的引力作用，对不同的限制性三体系统或同一系统的不同问题，相应的引力模型所包含的天体并不都一样。

下面以地—月系中的探测器运动为例，介绍如何在会合坐标系中将运动方程写成受摄圆型限制性三体问题的形式。记P ₁ ～P ₈ 表示太阳系由内到外的八大行星，P ₉ 表示月球，P ₁₀ 表示太阳。记其集合为S={P ₁ ，…，P ₉ ，P ₁₀ }。对地—月系而言，主要的摄动天体是太阳，其他大天体的摄动相对较小，可以忽略不计。因此，我们只需考虑集合中的P ₃ （地球）、P ₉ （月球）和P ₁₀ （太阳）即可。如前所述，不同的系统引力模型所包含的天体并不一样，如果是日—地月系，则通常需要考虑整个集合S中的天体。本节仅以受太阳引力扰动的地—月系统为例说明问题。

对地—月系而言，地球和月球是两个主天体，太阳是摄动天体。记 为S中的天体在太阳系质心坐标系中的位置矢量， 为小天体（探测器）在太阳系质心坐标系中的位置矢量。则地—月系的质心坐标矢量（记为 ）满足式（3.86），即

与圆型限制性三体问题类似，采用两个主天体（地球和月球）的质量之和为质量单位，则地球、月球和太阳的“约化”质量为

其中μ即地—月系对应的圆型限制性三体问题的质量参数，见式（3.3）。记地—月间的瞬时距离为k，如果会合坐标系中的长度单位采用k（类似前面介绍的椭圆型限制性三体问题），则有如下关系存在，即

其中 为会合坐标系下的位置矢量，而C为会合坐标系下的矢量转换到惯性系下的转换矩阵。对圆型限制性三体问题或椭圆型限制性三体问题而言，C矩阵即为简单的绕z轴的旋转矩阵，见式（3.16），但对受到太阳摄动的地—月系而言，由于月球轨道的不断运动，C不能够再简单地表示成绕某个轴的旋转，它的计算公式为

其中

在式（3.89）中， 为月球相对地球的位置矢量和速度矢量。而式（3.88）中的 。

下面给出地—月会合坐标系中小天体的运动方程。整个过程与由式（3.8）导出式（3.20）的过程类似，即首先在惯性系（这里为太阳系质心坐标系）下给出运动方程，然后将关系式（3.88）代入从而给出会合坐标系中的运动方程。忽略影响较小的其他大行星的引力作用，仅考虑地球、月球及太阳，在太阳系质心坐标系中小天体的运动方程形式为

对式（3.88）求导给出

将该式和式（3.88）一并代入式（3.90），方程左右两端同乘以-C ^T /k，得

其中

注意，根据上式定义，得知 为一种“混合”矢量，其坐标原点为太阳系质心，但却在地—月系会合坐标系下表示。可以证明[11]，式（3.91）右端前3项有如下关系，即

其中 分别为地—月会合坐标系下第一主天体（地球）和第二主天体（月球）到小天体的位置矢量。O（ε）为小量，其量级为太阳对地—月系的引力摄动量级（或者月球轨道偏心率的量级）。显然，式（3.91）可以看成圆型限制性三体问题的运动方程加上摄动量的形式。

最后有两点说明。

（1）对于受摄限制性三体问题的处理，上述过程（包括提供的运动方程式（3.91））仅是一种处理方法，还可以采用不同的处理方法[12]，本节只是给出一种比较具有一般性的途径，仅供读者参考。但无论是哪种方法，得到的运动方程基本都可以写成圆型限制性三体问题加上摄动项的形式，因此，称类似式（3.91）形式的运动方程为受摄圆型限制性三体问题模型下的小天体运动方程。

（2）上述处理，是分析圆型限制性三体问题的基本动力学特征在有扰动时能否保持所采用的方法，特别是有关平动点的动力学特征及其在深空探测中的应用研究（包括在圆型限制性三体模型下特殊轨道的构建），需要这样的处理，详见后面第5～7章的有关内容。由于这种处理在每一步计算过程中都需要将大天体的位置从惯性坐标系转换到会合坐标系，大大增加计算量，因此，在深空探测轨道（包括后面章节中出现的一些特殊轨道）的一般计算中，无须如此，这在本书第1章的1.3节中有相关说明。

3.5.2 关于 的计算公式简介

首先引进如下矩阵：

简记 即式（3.89）中的 ，则

其中

上述 的分量x，y，z等，不要与两主天体组成的会合坐标系中的位置矢量 的分量相混淆，这仅仅是为了表达简便而已。

3.5.3 超加速度的计算

在计算中，涉及相应量的变率（包括高阶变率），这是大天体的数值或分析历表不能直接给出的，为此需要由已知历表求出两个主天体相关量的变率和高阶变率。对数值历表，由于采用的是Chebyshev多项式插值，因此，可以将对位置的插值公式求导得到一阶、二阶和三阶变率；对分析历表，可以利用微分公式求得，而微分公式可由插值多项式求得（可用多项式进行插值，也可用样条函数进行插值，实际上，数值历表中的Chebyshev多项式就是一种插值函数），下面给出作者采用的数值微分公式（多项式插值）。

记

在八阶微分公式中取到二阶导数，有

在16阶微分公式中取到三阶导数，有

同样，超加速度也可通过其他途径获得，有兴趣的读者可参见本章参考文献[12]。 8WoQKNgh0JhEyAFStuwVmYdgBABg7JRiRTe0J2MPX1drRxl9UwvYW5VBbuIeq2UB