3.3 椭圆型限制性三体问题

对于太阳系而言，除水星外，各大行星绕日运行轨道，以及月球绕地球运行轨道均接近圆，即轨道偏心率较小，该值如表3.1所示。因此，除计算它们的精密星历外，对某些问题，处理成圆轨道显然是有意义的。此即前面介绍力学模型时所提到的采用圆型限制性三体问题的根据。但是，尽管偏心率e′较小，但它对圆型限制性三体问题讨论中给出的结果有什么影响（包括定性和定量的），这是人们所关心的。

两个主天体P ₁ 和P ₂ 相互之间做椭圆运动，在该系统中研究另一小天体 P 的运动，即椭圆型限制性三体问题。在该力学模型中，小天体的运动状况更为复杂，而且即使采用这一模型，也不能代替深空探测器运动所对应的实际力模型，仍然是一种近似。因此，作为实际力模型的一种合理近似，本无必要再对圆型限制性三体问题所揭示的有关小天体的运动规律做进一步修正。但这些规律在椭圆型限制性三体问题模型中将会发生什么变化，采用该模型会遇到什么问题，还是需要了解的。为此，本节将对该模型的基本特征做一介绍。

仍旧采用处理圆型限制性三体问题的方法，在相应的会合坐标系（椭圆运动对应的质心旋转坐标系）C—xyz 中研究小天体的运动（见图 3.4）。由于两个主天体P ₁ 和 P ₂ 的相对运动为椭圆，相互距离不再为常量，故无量纲化中的长度单位只有选取这一变化的相互距离，才有可能使得两个主天体在相应的会合坐标系中保持“固定”位置，纳入讨论圆型问题的“范畴”，便于针对圆型问题的基本规律进行相应的分析。

正是由于长度单位将是变化的，建立椭圆型限制性三体问题的基本方程将分为两步进行：首先建立会合坐标系中有量纲（原物理量）形式的运动方程，第二步再进行无量纲化。

3.3.1 会合坐标系中小天体的运动方程（I）——有量纲形式

在质心惯性系C—XYZ中（见图3.4）小天体P的运动方程为

若记小天体和两个主天体在质心旋转坐标系中有量纲的位置矢量分别为 ，则有

式中

由质心惯性系到质心旋转系的转换关系如下：

式中a′，e′，f 等量均为两个主天体P ₁ 和P ₂ 相对运动的椭圆根数。在上述变换下，有

根据以上变换关系式（3.50）和式（3.55），即可给出质心旋转坐标系中小天体运动方程的有量纲形式，略去推导过程，得

3.3.2 会合坐标系中小天体的运动方程（II）——无量纲形式

无量纲化“尺度”选取与圆型问题类似，见式（3.2），只是作为长度单位[L]的a ₁₂ 成为变化的 ，有 ^[2]

相应地，两大天体在此无量纲坐标系（实为脉动坐标系）中的位置也保持不变，即

在上述无量纲的会合坐标系中，自变量不用无量纲时间 ，而改用无量纲的f（两主天体相对运动的真近点角）。在此选择下，任一长度量“A”，有量纲形式和无量纲形式分别记作 和A，而相应的“导数”则分别为

有量纲形式运动方程式（3.57）中的相关量与无量纲量的转换关系如下：

将上述转换关系引入方程式（3.57），即可给出小天体运动方程的无量纲形式为或写成下列类似于圆型问题方程式（3.20）的形式，即

式中

式中Ω′右端出现的常量μ（1-μ）也是人为引进的，这已是习惯用法。在圆型问题中已有说明，Ω′可表示为下列对称形式，即

最后说明一点，在演化计算中，自变量 f 由 f ₀ → f 对应的物理时间t 如何得到?两个主天体的相对运动是二体问题，根据二体问题关系得

容易给出

式中平近点角 M 由“f”=（f-2π•N）给出；M=M“（f”，e′），即由（“f”，e′）→“（E”，e′）→ M，具体转换关系不再列出。当然，也可在演化计算中同时加入一个变量 ，直接按对自变量 f 的数值积分给出。

3.3.3 能量关系式

因Ω′显含自变量f，圆型问题中的Jacobi积分在此不复存在。由式（3.70）和Ω′的表达式（3.71）可得

或写成

注意，该式左端的Ω（x，y，z）已是圆型问题中的形式，即式（3.23），而v ² 的形式为

式（3.75）与圆型问题中的Jacobi 积分不同，其主要差别是由ω显含自变量 f引进的一个未知函数 的积分。因此，该表达式不是一个积分，它只是椭圆型限制性三体问题中的一个能量关系。可以将该关系式写成类似Jacobi积分的形式，即

该表达的能量关系式（3.78）将在后面第 4 章的有关讨论中用到，其中C（f）的形式为

“积分常数”C由初值确定，即

式中x ₀ ，y ₀ ，z ₀ 和 是对应t=t ₀ ，f=f ₀ 的初值（可取f ₀ =0）。 46rPvx3EuUWUoTlTcj1lH2zEQpsNQm/bY0GcObQrLYV3ytqlKQvXlTY41u598uEa