3.2 圆型限制性三体问题的Jacobi积分与解的存在性

3.2.1 圆型限制性三体问题的Jacobi积分

式（3.20）与式（3.8）的主要差别是Ω=Ω（x，y，z）不显含t，于是由式（3.20）立即可得

即

由此给出一积分

此即会合坐标系中的Jacobi积分，这是到目前为止，圆型限制性三体问题中找到的唯一的一个积分。

尽管质心惯性坐标系中，因U显含t，不能由上述途径直接给出相应的积分，但同是一个圆型限制性三体问题，当然应同样存在一积分，仅是给出的途径不同而已，通过两个坐标系之间的坐标转换，即可给出质心旋转坐标系中的Jacobi积分在质心惯性坐标系中的相应形式。需要转换的三个量为

但z=Z，因此有

最后由式（3.14）给出

于是有

将上述关系代入Jacobi积分式（3.34），即得该积分在质心惯性坐标系中的表达形式，即

如果Ω采用式（3.21），则式（3.48）右端的μ（1-μ）将不出现，读者引用时请注意Ω采用的形式。

3.2.2 圆型限制性三体问题解的存在性

尽管圆型限制性三体问题到目前为止只找到唯一的一个Jacobi积分，但并不表明解的存在性有问题。关于微分方程式（3.20）解的存在性虽然是一个理论问题，但还是有必要对其有所了解，为此，下面对此问题做一结论性的简介，有关该问题的全面论述，请见本章参考文献[2]的第3章（Chapter 3）。

要讨论解的存在性问题，首先要分析相应的运动方程。从前面给出的基本方程式（3.20）～式（3.22）可看出，r ₁ =0和r ₂ =0是两个奇点，这两个奇点正是小天体分别与两个大天体之一发生碰撞的情况，即碰撞奇点。由于限制性三体问题（无论是圆型或椭圆型）中，两个大天体的相对运动是完全确定的圆锥曲线，故在此系统中只可能发生二体碰撞。但必须指出，这里谈的碰撞只是数学上的一种提法，它是两个不占空间的质点之间的碰撞，而不是两个实体发生的物理碰撞。

既然有奇点存在，而且是通过二体碰撞来体现，那么有关该奇点的性质及能否消除是首先考虑的，而在能消除的前提下，进一步分析碰撞发生时的运动状态，碰撞前和碰撞后解的表达，这就是参考文献[2]第3章中论述解的存在性问题所涉及的主要内容。消除二体碰撞奇点的核心技术是正规化（Regularization）变换，该变换包含自变量变换和相应的函数变化，前者是运动微分方程的正规化（消除上述基本方程的两个碰撞奇点），而后者是消除解的奇点，使得碰撞发生时速度有限。因此，两个变换是有一定联系的，即自变量的选择与运动量（状态量）有联系。最终的结论是，圆型限制性三体问题的解在（-∞，∞）的时间域内是存在的。

关于证明过程中引用的正规化变换，除参考文献[2]外，还可参见 Stiefel 和Scheifele写的一本较全面阐述该问题的专著 ^[3] 。其中t→τ的自变量变换为

有改变时间尺度的含义，如消除一个碰撞奇点的简单变换，即

就可引用到大偏心率卫星轨道外推的数值计算中，形成自动变步长技术，详见本章参考文献[1]的第11章中的有关内容。

3.2.3 圆型限制性三体问题的简化与Hill问题

对于地—月—日三体系统，考虑月球的运动，月球是否作为小天体并不重要。在建立月球运动理论时，从构造摄动分析解的角度来看，太阳的引力摄动太大，不宜直接采用受摄二体问题模型，于是采用了一种“中间轨道”作为月球运动轨道的第一近似，其基本假定（或简化）及相关处理有如下三点。

（1）假设地球绕太阳做圆运动及相应坐标系的处理。首先采用质心（地球与太阳二体系统的质心C）旋转坐标系C-xyz，即会合坐标系（见图 3.1），旋转角速度即地球绕日圆运动角速度n=const.，从P ₂ （地球）到P ₁ （太阳）的连线方向即x轴正向（与本著作的取向相反，这是过去天文学家们的习惯 ^[2] ，但它并不影响对问题的阐明），地球轨道平面即xy坐标面，此坐标系即为绕z轴的旋转坐标系。在此坐标系中，地球和太阳保持在x轴的固定位置上，这就是前面所说的会合坐标系。采用上述无量纲化处理，基本方程即式（3.20），只是两主天体P ₁ 和 P ₂ 在会合坐标系中的x坐标分量变了一个符号，现为μ和-（1-μ）。

为建立月球运动的“中间轨道”，将上述会合坐标系的原点平移至地球质心，在此坐标系中记月球绕地球运动的位置矢量为 （注意，这里的（X，Y，Z）不同于第3.2节的矢量，它仍是会合坐标系中的矢量，只是原点由质心平移到第二个主天体上），有

太阳（P ₁ ）的位置矢量记作 ，有

相应的运动方程式（3.20）变为

其中 。式（3.41）并无实质性变化，只是改为从地球上去看月球的运动，仍旧无法构造参考解。为此，下面又做了第二个简化假定。

（2）“略去”太阳视差。式（3.41）的复杂性源于右函数U′，进一步的简化假设即考虑到（R/R ₂₁ ）≪1，在式（3.41）右端展开的相应项中略去（R/R ₂₁ ）项，此项即太阳视差项。这就是建立月球运动中间轨道理论中的第二个基本假设，于是运动方程式（3.41）进一步简化为

（3）进一步假设月球在地球绕日轨道平面（黄道面）上运动，即略去月球轨道倾角，运动方程式（3.43）中删去Z分量。

上述经过三个简化后的平面问题，即Hill问题。该问题存在周期解（这涉及定常动力系统周期解的存在性和相应的构造方法，下一章第 4.6 节将有相关论述），Hill即以这种周期解作为月球运动的中间轨道，接着Brown做了改进，并完善了这一理论 ^[4，5] ，成为后来编历工作正式采用的月球运动理论，故又称为Hill-Brown理论。但是，如果单纯地为了简单，在此基础上去研究深空探测中的相关问题，那不仅完全没有必要，而且会丢失或歪曲一些重要结论。就共线平动点的个数和准确位置而言，即将失真。卫星编队飞行问题的基本方程，也不应从上述所谓的Hill方程中令μ=0获得，而应从严格的圆型限制性三体问题的相应方程中令μ=0退化而获得，其形式与不涉及动力学联系的C-W方程 ^[6] 相同，但获取过程和结果的动力学意义清楚，这将在后面第5章的5.5节中阐述。 iX8L8qVPprnH6PzTIAnYT2f9YDFjvAD4S0aUR6t+YR2yclEHSa8AS/qf56VK1H/x