3.1 坐标系的选择与小天体的运动方程

对于限制性三体问题，由于两个主天体的运动状态已知，在研究小天体的运动时，根据各种航天任务的需要，将会涉及下面三种坐标系的选择。

（1）主天体m _i （i=1或2）的质心坐标系。

（2）两主天体系统质心惯性坐标系，简称质心惯性坐标系。

（3）两主天体系统质心旋转坐标系，通常称为会合坐标系。

这三种坐标系的原点分别在主天体 _i P（注意，三个天体P ₁ 、P ₂ 和P均处理成质点）或系统质心上，它们的基本平面（x-y坐标面）和主方向，将根据不同的天体系统和不同的问题来选择。关于主天体的质心坐标系，将涉及质心天球坐标系和体固坐标系。

这里要说明一点：上述惯性坐标系中“惯性”之意是针对两个大天体的孤立系统而言的，在无外力作用下，该二体的质心静止或做匀速直线运动，相应的坐标系在此意义下的惯性系，并非前面第2章对太阳系中惯性坐标系所下的“严格”定义。

小天体 P 在某一主天体 _i P附近运动（例如，月球探测器，从地球上发射后的初始近地运行段和到达月球附近制动后的环月运行段），往往选取第一种坐标系，而当小天体P在两个主天体之间运行时（探测器的转移轨道段），则采用后两种坐标系之一，特别是最后一种，便于理论分析和发射轨道的选择计算。当然，就航天任务而言，最终还是要放到第一种坐标系去体现探测器P的具体运行状态。

为了分析问题和计算上的方便，往往采用无量纲形式，不仅使各物理量无量纲化，而且它们的量级“归一化”，便于对问题的分析。在这里，若是第一种运动问题，即小天体在主天体 _i P附近运动，则相应的质量单位[M]、长度单位[L]和时间单位[T]分别取为

此时新系统的引力常数G=1。对于第二种运动问题，由于小天体在两个主天体之间运动，其涉及的运动“尺度”与前者不同，为此，计算单位习惯取法为

式中a ₁₂ 是两个主天体之间的距离，新系统的引力常数G=1。

在此计算单位系统中，两个主天体的质量分别为

它们到质心的距离各为

如果是圆型限制性三体问题，则两个主天体之间的距离a ₁₂ 是常数，且时间单位[T]就是两主天体相对圆运动的角速度n的倒数，即[T]=1/n。

下面的论述，各物理量均采用无量纲形式，并着重介绍体现限制性三体问题特点的有关内容。至于小天体在主天体附近的运动，将是作者另一本专著 ^[1] 的内容。

3.1.1 质心惯性坐标系中小天体的运动方程

质心惯性坐标系记为C-XYZ，其原点在两主天体系统的质心C上，X-Y坐标面即两个主天体相对运动平面，X轴方向的选择，对应初始时刻t=t ₀ 时，两个大天体处于该坐标轴上，且指向小天体P ₂ ，如图3.1所示。

在此坐标系中，小天体和两个主天体的坐标矢量分别记为R、 ，于是小天体相对两个主天体的坐标矢量各为

这些量的几何关系如图3.1所示（为清晰起见， 未在图中标出）。

对于圆型限制性三体问题，两个主天体相对质心C的运动为圆运动，其坐标矢量随时间t的变化关系为

这里用到圆型问题的特征：[T]=1/n，有

其中t ^∗ 是原有量纲时间，即t ^∗ =t•[T]，t为无量纲时间，这表示在新计算单位系统中，两个主天体的圆运动角速度 =1。

在上述坐标系和计算单位的选择下，小天体的运动方程为

这里U为

其中

3.1.2 会合坐标系中小天体的运动方程

会合坐标系（质心旋转坐标系）记为C-xyz，该坐标系的旋转角速度就是两个主天体相对运动的角速度θ.（t），因此两个主天体一直处于x轴上，如图3.1所示。小天体和两个主天体的坐标矢量各记为 。相应的小天体相对两个主天体的坐标矢量各为

其中

于是有

的转换关系为

这里R _z （t）和R _z （-t）是旋转矩阵，定义同上一章的式（2.28）～式（2.30），即

由式（3.15）可给出

式中

由上述转换关系，并利用旋转矩阵的性质，有

即可由质心惯性坐标系中的运动方程式（3.8）转换为小天体在会合坐标系中的运动方程，即

式中

在限制性问题讨论中，为了某种需要，常将Ω表示为下列形式 ^[2] ，即

可进一步表示为一“对称”形式，即

为了与习惯用法相吻合，下面的论述中，如不加说明，Ω的形式为式（3.23）。

3.1.3 不同坐标系之间小天体的位置矢量和速度矢量的转换关系

不妨以月球探测器为背景来讨论相应的转换关系，其方法同样可推广到对其他类型小天体运动的讨论中去。对于地—月—探测器这样的限制性三体问题，探测器的运动可分为三个阶段，即从地球上发射，先在地球卫星的轨道上运行，经变轨后进入地—月空间飞行，最后到达月球附近，或是靠近月球后远离而去（也可以是返回地球），或是再经变轨成为月球卫星。考虑上述三个运行阶段的轨道问题，往往采用三种不同的坐标系，即中心天体P ₁ （地球）的地心赤道坐标系；地—月系质心旋转坐标系；被探测天体P ₂ （月球）的月心赤道坐标系。

这里暂不去考虑真赤道与平赤道之间的差别，也不考虑坐标系涉及的历元问题，它并不影响将要建立的转换关系的实际意义。采用赤道坐标系的原因，在于探测器靠近主天体时，该天体的非球形引力效应是最主要的摄动源，考虑这种非球形引力作用显然取赤道坐标系为宜。对于探测器运行的全过程，必然涉及上述三种坐标系之间的转换问题，而变轨过程中各运动量的改变，仍在各相应坐标系内完成，不影响下面将要建立的转换关系式。

依次分别记上述三种坐标系为

探测器在这三种坐标系中的位置矢量分别记为 。下面讨论由（P ₁ -ξηζ）→（C-xyz）→（P ₂ -ξηζ），探测器的位置矢量和速度矢量的转换关系，坐标系之间的几何关系如图3.2和图3.3所示。

1.位置矢量的转换关系

由图3.2和图3.3可知

其中 即前面已引用过的质心旋转坐标系（C-xyz）中大天体P ₁ （地球）和P ₂ （月球）的位置矢量，见式（3.12）。倾角ε ₁ 、ε ₂ 和P ₂ 、P ₁ 的纬度角 ，以及坐标轴指向的选取，如图3.2和图3.3所示。

2.速度矢量的转换关系

由式（3.31）可得

则

上述 对t求导数中有

由式（3.26）可得

相应地有

3.上述转换关系的意义

后面第3.2节中将要给出的Jacobi积分，是圆型限制性三体问题中关于小天体运动状态的一个重要判据，根据该积分，可以判断小天体在 处获得速度 后，是否可以从处于主天体P ₁ 的附近飞向另一主天体P ₂ 的附近。尽管此原理将要在后面第4章中才具体阐明，但这里有必要指出，该积分中的 和v ² 等量均是会合坐标系中的量。因此，若要引用Jacobi积分，就必须将探测器在第一阶段相对P ₁ 赤道坐标系的位置矢量 和速度矢量 转换为 ；而当探测器到达另一主天体P ₂ 附近时，若要了解它相对P ₂ 的运动性质，又必须将 转换为 。此即介绍几种坐标系之间小天体的坐标矢量和速度矢量转换关系的实际背景。

如果做一简化，令ε ₁ =0，即P ₁ 与P ₂ 的相互绕转轨道平面与主天体P ₁ 的赤道平面重合，或小天体相对P ₁ 的运动已将坐标系（P ₁ -ξηζ）的基本平面由赤道面改为P ₁ 与P ₂ 的相互绕转平面，则有

其中

h _/2 是小天体绕P ₁ 运动的面积速度。

式（3.31）的意义在于：根据该式，可以了解到小天体绕P ₁ 运动处于顺行（i＜90°）或逆行（i＞90°）状态对Jacobi积分常数C值有不同的影响，而C值的大小将决定小天体运动对应的可能区域，第4章将要介绍这一内容。

在数值研究中，需要的是坐标系之间的转换结果，不必按上面的具体表达形式进行，可按不同坐标系之间的转换关系用式（3.25）或式（3.26）直接进行计算。 DUvgga05xwJTr5UxToPHtatbwmYbxTY5n/ejUgkMDk5uOVuxX4NYRBapGu1ADbHr