2.2 空间坐标系统

本章一开始就提到，在太阳系内，最重要的惯性参考系有两个：一个参考系的原点在太阳系质心，即质心天球参考系 BCRS，所有太阳系天体的运动都与它相联系；另一个参考系的原点在地球质心，通常称为地心天球参考系 GCRS。关于这两类参考系涉及的时间系统已在上一节做了详细介绍，本节将介绍空间坐标系统的有关细节，特别是与深空探测有直接联系的相关内容。

2.2.1 动力学参考系的实现与J2000.0平赤道参考系

当前的观测数据，如太阳系行星历表等，都是在国际天球参考系ICRS中描述的，该参考系的坐标原点在太阳系质心，其坐标轴的指向由一组精确观测的河外射电源的坐标实现，称为国际天球参考架（ICRF），而具体实现是使其基本平面和基本方向尽可能地靠近J2000平赤道面和平春分点。引入ICRS和河外射电源实现参考架之前，基本天文参考系是 FK5 动力学参考系（严格地说是由动力学定义，并考虑了恒星运动学改正的参考系），基于对亮星的观测和IAU 1976天文常数系统，参考系的基本平面是J2000.0的平赤道面，X轴的方向为J2000.0 平春分点。很明显，这样定义的动力学参考系是与历元相关的。最新的动力学参考系的实现仍是FK5星表，通常就称该动力学参考系为J2000.0平赤道参考系 ^[1，2] 。

考虑到参考系的延续性，ICRS的坐标轴与FK5参考系在J2000.0历元需尽量地保持接近。ICRS 的基本平面由VLBI 观测确定，它的极与动力学参考系的极之间的偏差大约为 20 毫角秒。ICRS 参考系零点（其含义见下一小节）的选择也是任意的，为了实现与FK5 的连接，选择了23 颗射电源的平均赤经零点作为ICRS的零点。ICRS和FK5 动力学参考系的关系由三个参数决定，分别是天极的偏差ξ ₀ 和η ₀ ，以及经度零点差dα ₀ ，它们的值分别为

于是国际天球参考系ICRS与J2000.0 平赤道参考系的关系可由式（2.15）表达，即

是同一个矢量在不同参考系中的表示，其中常数矩阵B称为参考架偏差矩阵，由三个小角度旋转组成。

上述J2000.0平赤道参考系，正是当今航天器轨道力学和具体工程应用中普遍采用的地心天球参考系GCRS，如无特殊要求，参考架偏差就不再提及。

2.2.2 中间赤道及相应的三个基准点 ^[1]

为了更清楚地刻画天球参考系与地球参考系之间的联系，下面引进中间赤道的概念。天轴是地球自转轴的延长线，交天球于天极。由于进动运动，地球自转轴在天球参考系CRS中的指向随时间而变化，具有瞬时性质，从而天极和天赤道也具有同样的性质。为了区别，IAU2003规范特称现在所说的这种具有瞬时性质的天极和天赤道为中间赤道和天球中间极 CIP（Celestial Intermediate Pole）。

为了在天球参考系中进行度量，需要在中间赤道上选取一个相对于天球参考系没有转动的点作为零点，称其为天球中间零点CIO（Celestial Intermediate Origin）。同样，为了在地球参考系中进行度量，需要在中间赤道上选取一个相对于地球参考系没有转动的点作为零点，称为地球中间零点TIO（Terrestrial Intermediate Origin）。CIO 是根据天球参考架的一组类星体选定的，接近国际天球参考系的赤经零点（春分点），TIO则是根据地球参考架的一组地面测站选定的，接近国际地球参考系的零经度方向或本初子午线方向（习惯称为格林尼治方向）。如图2.1所示的圆周即表示地心参考系中的中间赤道，E为地球质心，γ为春分点。

在天球参考系中观察时，中间赤道与CIO固结，称为天球中间赤道，TIO 沿赤道逆时针方向运动，周期为 1 恒星日；反之，在地球参考系中观察时，中间赤道与 TIO 固结，称为地球中间赤道，CIO 以同样周期沿赤道顺时针方向运动。这两种观察所反映的都是地球绕轴自转的运动，CIO 和 TIO 之间的夹角是地球自转角度的度量，称为地球自转角 ERA（Earth Rotating Angle）。

2.2.3 地球坐标系统

1.地心天球坐标系O-xyz

此坐标系实为历元（J2000.0）地心天球坐标系，即前面提到的J2000.0平赤道参考系，简称地心天球坐标系。其坐标原点O是地心，xy坐标面是历元（J2000.0）时刻的平赤道面，x轴方向是该历元的平春分点 ，它是历元J2000.0的平赤道与该历元时刻的瞬时黄道的交点。这是一个在一定意义下（消除了坐标轴因地球赤道面摆动引起的转动）的“不变”坐标系，它可以将不同时刻运动天体（如地球卫星）轨道放在同一个坐标系中来表达，便于比较和体现天体轨道的实际变化，已是国内外习惯采用的空间坐标系。注意，在该坐标中，地球非球形引力位是变化的，其变化如何反映在航天器的轨道变化中，这是本套专著第二本书 ^[4] 的内容。

2.地固坐标系O-XYZ

该坐标系即地球参考系TRS（Terrestrial Reference System），是一个跟随地球自转一起旋转的空间参考系，俗称地固坐标系。在这个参考系中，与地球固体表面连接的测站的位置坐标几乎不随时间改变，仅仅由于构造或潮汐变形等地球物理效应而有很小的变化。

与ICRS 要由ICRF 具体实现一样，地球参考系也要由地球参考框架（TRF）实现。地球参考框架是一组在指定的附着于TRS 的（笛卡儿、地球物理、测绘等）坐标系中具有精密确定的坐标的地面物理点。最早的地球参考框架是国际纬度局（International Latitude Service）根据1900—1905年五年的观测提出的国际习用原点CIO（Conventional International Origin）定义了第三轴的平均指向，即原来的地球平均地极指向。但该原点的缩写名称CIO已被现在的天球中间零点CIO所占用，因此，这一曾经出现过的名词不再使用，读者不要被这两种称谓所混淆。

在上述定义下，地固坐标系的原点O是地心，而Z轴方向所对应的就是地固坐标系的极（原平均极CIO不再提及），XY 坐标面即过地心并与该极方向垂直的地球赤道面，X轴指向地球经度零点，即本初子午线方向，也可称其为格林尼治子午线方向。各种地球引力场模型及其参考椭球体也都是在这种坐标系中确定的，它们应该是一个自治系统。根据我国目前状况，如不加说明，所涉及的地固坐标系均采用WGS（World Geodetic System）84系统。对于该系统，有

式中，GE是地心引力常数，a _e 是参考椭球体的赤道半径，f 是该参考椭球体的几何扁率。

在地固坐标系中，测站坐标矢量 的三个直角坐标分量X _e ，Y _e ，Z _e 与球坐标分量（H，λ，ϕ）之间的关系为

其中

a _e 是相应的参考椭球体的赤道半径，f是该参考椭球体的几何扁率。球坐标的三个分量（H，λ，ϕ）分别为测站的大地高、大地经度和大地纬度（又称为测地纬度），有

3.地心黄道坐标系O-x′y′z′

该坐标系的原点O仍是地心，与日心黄道坐标系只是一个平移关系。x′y′坐标面是历元（J2000.0）时刻的黄道面，x′轴方向与上述天球坐标系O-xyz的指向一致，即该历元的平春分点方向。

4.地固坐标系O-XYZ与地心天球坐标系O-xyz之间的转换

在IAU2000规范下，地心天球参考系（GCRS）到国际地球参考系（ITRS）的转换过程由式（2.20）表述，即

其中[GCRS]和[ITRS]各对应IAU1980规范下的地心天球坐标系和地固坐标系。为了表达的连贯性，仍采用同一位置矢量在两个坐标系中的符号 来表达变换关系，即

M（t）是岁差、章动矩阵，R（t）是地球自转矩阵，W（t）是极移矩阵，它们的具体计算公式不再列出，请见本章参考文献[1]的第8章。

2.2.4 地平坐标系、赤道坐标系与黄道坐标系

研究天体运动（包括各类航天器）涉及的空间状态和采样数据的几何表达等，采用的空间坐标系主要有三类：地平坐标系、赤道坐标系和黄道坐标系，无论是从地球上看问题，还是从其他星球（大行星和月球等）上处理同类问题，基本上都是如此。下面以地球坐标系统为例，分别介绍这三类坐标系的具体定义 ^[5] 。

地平坐标系（Horizontal System）。这一坐标系会涉及对深空探测的着陆等问题，确切地说应该是地球测站站心或着陆点的地平坐标系，坐标原点为观测站“中心”（采样点）或着陆点，参考平面为过该点与地球或目标天体的参考椭球体相切的平面（“地”平面），其主方向是地平面中朝北的方向，即天球上的北点（N）方向，该坐标系的z轴方向即天球上的天顶（Z）方向，如图2.2所示。

赤道坐标系（Equatorial System）。该坐标系又分为站心赤道坐标系和地心（或目标天体的质心）赤道坐标系。前者的原点是站心，后者则是地心（或目标天体的质心），参考平面是地球赤道面（或目标天体的赤道面），但要注意，对于站心赤道坐标系，参考平面与地球（或目标天体）赤道面平行，而在天球上两者合一，主方向相同。因此，这两个坐标系之间只是一个平移关系。

黄道坐标系（Ecliptic System），可分为地心黄道坐标系和日心黄道坐标系。坐标原点各为地心和日心，参考平面都是地球绕日运动的轨道面，即黄道面，而主方向仍是春分点方向。

地平坐标系与赤道坐标系之间，赤道坐标系与黄道坐标系之间的几何关系分别如图2.2和图2.3所示，图中各符号均为天文领域中的常用符号，不再加以说明。

以地球为例，若在地平、地心赤道和日心黄道坐标系中，将天体的坐标矢量各记为 ，则相应的球坐标分别为ρ，A，h（or E），r、α、δ和R、λ、β。其中ρ、r和R各为天体到坐标原点的距离；A为地平经度，从北点沿地平经圈向东点（与图中西点W相对）方向（顺时针方向）计量，h为地平高度（或称高度角E），它与天顶距z的关系为h=90°-z；α为赤经，从春分点方向沿赤道向东计量，δ是赤纬；λ是黄经，从春分点方向沿黄道向东计量，β是黄纬。在各自对应的直角坐标系中，有下列关系存在，即

关于地平经度A的度量，也有从南点（S）沿地平经圈向东（逆时针方向）计量的，请读者注意测量数据的说明，在此定义下，相应的表达式则改为

站心赤道坐标系和地心黄道坐标系中的位置矢量用 表示，相应的表达式与 相同，但r改为r′，R改为R′，α，δ和λ，β应理解为站心赤道坐标和地心黄道坐标。

上述几种坐标系之间的转换关系是简单的，仅涉及平移和旋转，仍以地球为例，有

式中，ϕ是测站的天文纬度，S是春分点的时角，即测站的地方恒星时（见图2.2）， 是测站的地心坐标矢量，ε是黄赤交角， 是地心的日心坐标矢量。上述坐标转换中涉及的旋转矩阵由下式表达，即 sqmL7WSfmhnpoPeg3DLTUnnDWQiGRA7iIHvj007sPhrGaia1LUzBZCm+3JgOxWKs