航天器定轨理论与应用最新章节_刘林著

2.2 二体问题及其分析解

卫星（环绕型航天器）运动对应一个受摄力学系统，最常用的数学模型即受摄二体问题，二体问题是其基本参考模型，该模型的解就作为解决相应问题的基础。尽管在近代几本有关天体力学方法的基础著作和教材中 ^[3～6] ，对二体问题已有不同的介绍，但作为定轨的需求，对此基础问题仍需作些必要的阐述，并针对解决实际问题的具体情况，着重针对椭圆运动，给出常用关系式。

2.2.1 二体问题的六个积分

对于二体问题，两个天体P ₀ 和p均作为质点对待，分别将该两天体的质量记为M和m （对于卫星，可取m=0），讨论天体p相对天体P ₀ 的运动。此时可将运动方程，即式（2.1）改写为下列形式，即

其中，是中心天体P ₀ 到运动天体p方向的单位矢量。相应的运动坐标系O-XYZ （见图 2.1）的原点O在天体P ₀ 上（注意：此时P ₀ 是质点），但基本平面（XY坐标面）可有多种选择。根据轨道力学问题的具体特点，对于人造地球卫星的运动问题，XY平面与地球赤道面一致，而处理太阳系中大行星和小行星的运动问题，往往取日心黄道面作为XY平面，但在讨论自然卫星运动时（特别是离相应大行星较近的自然卫星），则与讨论人造地球卫星的运动有些相似，取各大行星的赤道面作为XY平面。至于X 轴方向的确定，对于太阳系，无论是讨论行星运动，还是人造地球卫星的运动，几乎都是取春分点方向作为X 轴方向，这在前面第 1章中已有相应的阐述。

图2.1 运动坐标系O-XYZ

为了简便，常记

方程（2.5）对应的是有心力问题，不仅是可积的（这里的可积是指上述微分方程的解可以写成求积形式），而且可以具体给出六个积分的完整表达式，并在给出六个积分的同时，指出相应常微分方程的特征，从而可以使读者重温常微分方程求解的基本方法。下面将作具体介绍。

1.动量矩积分（或称面积积分）

根据有心力的性质，可直接写出方程（2.5）的动量矩积分，由该方程亦容易推出该积分。若记为面积速度矢量，则由方程（2.5）可得

这表明为一常矢量，天体p相对P ₀ 的运动为一平面动。相应的动量矩积分可写成

其中，为面积速度常数，单位矢量ˆR表示面积速度方向，它是天体运动平面的法向单位矢量。

如果用天体运动轨道来描述动量矩积分的几何意义，则可引用辅助天球（见图2.2），图中大圆AA′和BB′分别表示基本平面（XY坐标面）和运动天体轨道在辅助天球上的投影，方向为轨道面法向，i是卫星轨道面与基本平面的夹角，Ω为轨道升交点方向N （或称节点）的经度（或称赤经），从X 方向起量。利用球面三角形的余弦公式（或用坐标旋转的方法），不难导出法向单位矢量在坐标系O-XYZ中的表达式为

图2.2 辅助天球

动量矩积分公式（2.7）包含了h，i，Ω三个积分常数，h是面积速度的两倍，i，Ω则确定了轨道平面的空间方向。

从公式（2.7）的推导过程不难看出，只要是有心力，即

必存在公式（2.7），并不要求如同方程（2.9）右端的那种简单形式，λ，φ是常用的球坐标的另两个分量，即经、纬度。

2.运动平面内的轨道积分和活力公式

既然是平面运动，而相应的平面已由（i，Ω）确定，那么，接着就可在这一确定的平面内讨论降阶后的方程。引入平面极坐标（r，θ），运动方程（2.5）的径向分量为

而横向分量为

此方程给出一个积分

由空间极坐标（三个轴方向的单位矢量分别记作为前面的）中的表达式为

可得

这表明公式（2.11）就是动量矩积分公式（2.7）的标量形式，或称面积积分。方程（2.10）和方程（2.11）构成了平面运动系统对应的三阶常微分方程，需要再寻找三个独立积分。

上述方程组的特点是不显含自变量 t，由常微分方程的基本知识可知，对于这类方程，通过分离自变量t的方法可使它降一阶，即能够首先讨论r对θ的变化规律。为此，记，由方程（2.7）得

将这一关系代入方程（2.10），即可给出r对θ的二阶方程。但相应的方程仍不便于求解，如果在降阶的同时，再作变量变换，即

有

利用这一关系即可得到u对θ的一个二阶常系数线性方程为

这显然是可积的。容易给出一轨道积分为

e和ω为两个新积分常数。这是一圆锥曲线，在一定条件下它表示椭圆，中心天体（即O点）在其一个焦点上，考虑到本书的内容，主要讨论椭圆运动，至于抛物线和双曲线轨道，实为非环绕型轨道，这里不再介绍，如有需要，读者可见参考文献[8]所提及的《航天器轨道理论》一书的第2章。对于椭圆，可令

那么公式（2.11）和方程（2.17）又可写成

积分常数h由a代替，这里p是椭圆的半通径，a是半长径，e是偏心率，ω则称为运动天体过近星点P的幅角，因在P点方向θ=ω时，r达到最小值，故称P点方向为近星点方向。注意，近星点幅角ω和极坐标变量θ都是从节点N方向起量的，这在二体问题中无区别，当有摄动时，椭圆随时间变化，升交点方向也在变化，ω应从这变化的升交点方向起量，而极坐标变量θ却仍应从一个定义的不变方向起量，两者是有区别的。

将r=r（θ）的关系代入方程（2.19），原则上可以给出最后一个与时间t有关的积分。这里暂时放一下，先导出椭圆运动的几个常用关系。由公式（2.19）和式（2.20），经简单的运算可得

此为活力公式。另外，既然是椭圆运动，那么运动天体的向径在一个周期T内扫过的面积就是椭圆的面积：，由此可知两倍的面积速度h为

整理后可得

若引进平运动角速度，则式（2.23）又可写成

这两个表达式就是万有引力定律导出的开普勒（Kepler）第三定律。

这里要说明一点：关于活力公式（2.21），与动量矩积分公式（2.7）的推导类似，也可直接由运动方程（2.5）两端点乘获得，即

由此立即可得出一积分公式，即

此即活力积分，实际上就是一般N （N≥2）体问题10个经典积分中的能量积分在上述二体相对运动中的转型。但从二体问题求解的角度寻找六个独立积分的过程来看，上述处理直至轨道积分公式（2.17），共给出五个独立积分，是为了进一步寻找10个经典积分以外的另两个独立积分，其中之一为轨道积分，尽管它对应二阶方程，与活力积分一共只有两个是独立的，故称式（2.21）为活力公式为宜。剩下一个独立积分必与自变量t（轨道运动的反映）有关。

为了运算方便，在寻找第六个积分时，不直接对方程（2.19）按dθdt求解，而是利用式（2.21）按积分，有

即

通过式（2.24）消去μ，整理后得

对于椭圆轨道，r的极大和极小值分别为

因此有，故可按下式引入辅助量E，即

或写成

代入式（2.25）可得

由此便可得出第六个积分，即

这又称为开普勒方程，τ是积分常数。当t=τ时，E=0，相应的r=a （1-e）=r _min ，故τ就是运动天体过近星点的时刻。

最后引进两个角度 f 和M，定义为

f，M和E是三个角度量，分别称为真近点角、平近点角和偏近点角，都是从近星点开始计量，E的几何意义见图2.3。

图2.3中O是椭圆焦点（也是坐标系原点），O′是辅助圆的圆心。显然，在二体问题中，公式（2.7）可简化为下列形式，即

上述六个独立积分常数实为描述天体运动轨道的一组独立参数，通常称为轨道根数，只要初始条件给定，它们就完全被确定。根数a，e是确定轨道大小和形状的参数；i，Ω和ω是轨道平面和拱线（长半轴）的空间定向参数；而第六个根数τ通常是被三种近点角所代替，特别是平近点角M常被引用，三种近点角本身同时包含时间t，而不是常数，随t而变化，故也被称为时间根数。特别要强调一点：上述六个轨道根数a，e，i，Ω，ω，M（f，E），也常被称为开普勒根数，这一称谓与天体力学发展的历史相关。