下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
第1章已针对太阳系探测中航天器的运动引进了相应的时空参考系，接着就需要了解各类航天器在运行过程中的受力状况，从而建立相应的数学模型。关于数学模型的建立，既要尽量符合真实的物理背景，又要有利于问题的解决，真正达到实际应用的目的。
既然是太阳系探测，那么首先就要了解各类航天器在太阳系中运行的力学环境。太阳系是一个十分复杂的力学系统，除了作为这一力学系统主天体存在的太阳外，还有8个大行星和数量众多的小行星及自然卫星、彗星和空间尘埃等。就目前来看，任何一个航天器的出现，除非碰撞发生，都不会改变太阳系中其他天体的运动状态。
如果将航天器和所有影响它的n个引力源（包括非引力源，如太阳辐射等）都处理成“质点”（暂且不考虑非质点引力或非引力的一些具体细节，因为这不会影响对问题的阐述），则形成一个（n+1）体系统，数学上就构成一个（n+1）体问题。本书所要论述的问题是：一个质量可忽略的航天器在另外n个运动状态完全确定的“天体引力”（确切地说为相应的外力源）作用下的运动，这一动力学问题就称为限制性（n+1）体问题，它与一般（n+1）体问题的提法和研究内容有重大区别。当n+1=3时，就是天体力学（或轨道力学）中最著名的“限制性三体问题”。限制性问题与非限制性问题不是简单的名称差别，由于待研究的运动小天体的质量小到可以忽略，这将导致在数学处理方法上的重大差别。例如一般三体问题，除存在10 个经典积分外，无其他动力学信息，而限制性三体问题则不然，除该系统中两个大天体的运动状态能完全确定外，又可给出另一个小天体特有的运动特征，这对研究自然小天体（如小行星），或各类航天器的运动，都是极其重要的。
根据太阳系演化至今的现状，大天体、小天体和航天器运动中的主要外力源至多有两个，即使探测质量较小的小行星也不例外，包括探测器从地球附近飞往目标小行星的全过程中（无论采用何种方式）。对于各大行星的运动，主要外力源只有一个，就是太阳，其他外力源都是摄动源（即小扰动）。小行星运动主要的外力源是太阳或一个大行星；自然卫星的运动，主要外力源是相应的大行星；人造地球卫星的运动，主要外力源是地球；远地卫星的运动（如月球探测器在转移轨道段的运动），主要外力源是地球和月球；深空探测器（探测大行星或自然卫星）的运动，主要外力源是太阳，或大行星，或目标行星及其自然卫星。除两个主要外力源外，其他力源（包括上述非质点引力和非引力等）均可处理成摄动源。因此，在现实的太阳系中，研究各类航天器的运动，就轨道力学而言，合理的数学模型只有两类：一类是环绕型航天器（即人造卫星）的轨道问题，主要外力源只有一个，即其环绕的中心天体，对应的是一个受摄二体问题；而另一类是非环绕型航天器（包括各种空间探测器）的轨道问题，主要外力源有一个或两个，对应的是一个受摄限制性三体问题。
事实上，在太阳系动力学的研究过程中，受摄二体问题和受摄限制性三体问题就是两个有效的数学模型，而若形式上采用限制性四体或五体问题模型，相应的三个或四个大天体的运动问题本身就未解决，这类看似更精确或吸引人的模型，却无助于问题的解决。因此，在现实的太阳系中，处理大小天体和各类航天器的轨道运动问题时，除上述受摄二体问题模型外，就是受摄限制性三体问题模型，更确切地说，应该是受摄圆形限制性三体问题模型。
该模型对应的（n+1）体问题中，主要外力源作为中心天体，相应的质量记为M，坐标系原点取在其质心上，对于这样一个受摄二体模型，可归结为下列运动微分方程——常微初值问题，即
其中，G 是万有引力常数，m（m=0）是运动天体的质量，
是应考虑的另外N=（n-1）摄动源对应的摄动加速度，这里的
是运动天体在该坐标系中的位置矢量。
通常引用符号μ为
对于小天体（包括各种环绕型探测器），相应的质量可取m=0，那么表达小天体运动问题的式（2.1）即变为
其中，μ（μ=GM）是中心天体的引力常数。例如研究人造地球卫星的运动，中心天体是地球，常用的符号μ（μ=GE）就是地心引力常数，其值为3.98603×10
14
（m
3
/s
2
）。对于一个地球低轨卫星，如果在300km高的近圆轨道上运行，地球中心引力加速度（μ/r
2
）约为9m/s
2
，而自然存在的各种摄动加速度
中最大的地球动力学扁率项的相对大小为10
-3
，运动方程（2.4）对应的就是一个典型的受摄二体问题，相应的运动轨道是一个缓慢变化的椭圆。如果该卫星有1T重，并同时存在持续的100N大小的机动力（这一卫星相当于一个机动平台），相应的机动加速度为0.1m/s
2
，这仍可看作一种摄动力，其相对大小也仅达到10
-2
，比月球环绕地球运动受到太阳的引力摄动（2×10
-2
）还小一些。对于这样一个空间机动平台的运动，采用受摄二体问题模型来研究它的运动规律仍然有效。
对应（n+1）=（1+1）的二体问题，就不再区分一般二体问题与限制性二体问题，因为方程中的μ=G （M+m）或μ=GM 均为常数，方程（2.1）或方程（2.3）的求解及其解的动力性特征没有任何差别。因此，就简单地称为二体问题。
受摄二体问题可提供满足一定精度的分析解 [1] ，因此，对于环绕型航天器的定轨问题，既可以采用数值法，亦可采用分析法。数值法是由运动微分方程（2.3）的数值解提供状态转移方程，而分析法则可直接引用方程（2.3）中第 2 个式子的分析解提供的状态转移方程，即1.5节定轨问题提法中的式（1.117）为
关于限制性三体问题，在本系列专著“航天器轨道力学理论与工程应用”第三本——《深空探测轨道理论与应用》（刘林，侯锡云著）中有详细阐述 [2] 。尽管其参考模型（圆形限制性三体问题）可以提供重要的动力学信息，在深空探测的轨道选择、目标轨道设计等方面起着重要作用，但直到目前为止还无法提供相应的分析解，因此，非环绕型的深空探测器的定轨问题，只能采用数值法解决，即直接由运动微分方程（2.3）的数值解提供状态转移方程及其相应的状态转移矩阵，详见第5章的相关内容。
从定轨角度来看，环绕型航天器与非环绕型航天器的定轨原理与方法并无原则差别，相应的动力学方程都是方程（2.3），其唯一的差别就是该方程的右函数中，除中心引力项
外，其他外力源的作用加速度项
有所不同，对于环绕型航天器，该项相对中心引力项是小量，而对于非环绕型航天器并无此限制，仅此而已。