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人造卫星的轨道运动可以用二体问题来研究。所谓二体问题是把被研究的两个天体（例如太阳和火星）看作两个质点，仅在相互的吸引力作用下运动。如果把地球和人造卫星看作两个质点，并且只考虑它们之间的吸引力，则人造卫星运动也是一个二体问题。
现研究人造卫星与地球在相互引力作用下运动。如图2-1所示，给出的天球为一个假想的球，其球心取在地心故称地心天球。图中O-XYZ为地心赤道坐标系（也称惯性坐标系），坐标原点在地心，O-XY平面与赤道面重合。Z轴指向天球北极，X轴指向春分点（黄道面与赤道面交线在天球上投影）方向。Y轴与X和Z轴构成右旋坐标系。图中大圆AA'和BB'分别表示赤道面（XY平面）和卫星运动轨道平面，R方向即轨道面法向。N称为升交点（卫星从南向北穿过赤道的一点）。i为轨道面与赤道面的夹角，即为倾角。Ω为升交点和春分点之间的夹角，即为升交点赤经，从X方向向东计量。地心赤道坐标系的特点是它的轴向不因地球转动而改变。
图2-1 地心天球表示轨道参数
在地心赤道坐标系中，人造卫星在地球引力作用下的轨道运动矢量方程和直角坐标方程为
式中，
为卫星相对地球的加速度，
。因卫星质量m与地球质量M相比很小，可以忽略，故有下述近似式：
式中，μ为地球引力常数。
对人造卫星的所有实际轨道，二体问题中一个物体的质量远大于另一个。这类运动称为有心力运动。公式2-1就是一个有心力运动方程。对它的解可以写成积分形式。通过求解可得六个积分常数。
由公式2-1可推得下述两公式：
式中，A、B、C为积分常数，实为轨道平面法线的方向系数，即轨道面的法线在地心赤道坐标系中的方向。H为卫星轨道运动单位质量动量矩向量的模，其运动方向与轨道面的法线方向重合。积分常数A，B，C可由H，i，Ω确定；反之，H，i，Ω可由积分常数A，B，C求出。式中，Ω为升交点赤经，i为轨道倾角，此两参数决定了卫星轨道平面在地心赤道坐标系中方位（见图2-1）。
由卫星的运动方程可推得在轨道平面内运动方程如下式
式中有两个独立积分常数，即偏心率e和近地点幅角ω（从升交点沿运动方向在轨道面内量到近地点的地心张角）。
公式2-5的一般解是一条圆锥曲线，当e=0时，r等于常数，卫星运动轨迹为圆形；当0<e<1时为椭圆；当e=l时为抛物线；当e>l时为双曲线。
对于绕地球运动的卫星来说，偏心率0≤e<l，做椭圆运动。卫星绕地球椭圆运动的几何关系见图2-2。
图2-2 卫星绕地球椭圆运动的几何关系
由公式2-5和图2-2知，当θ-ω=90°时，有r=p，p 称为半通径；当θ-ω=0，即近地点，有r=r min ；当θ-ω=180°时，即远地点，有r=r max 。由图2-2椭圆几何关系可得相关参数计算公式如下：
将公式2-10代入公式2-5可得
式中a为椭圆半长轴。
利用公式2-1还可推得卫星轨道速度
式中a是积分常数，即为前面已提到的椭圆半长轴。
卫星绕地球旋转一周的时间为T，称为卫星轨道周期，可推得
上式表明卫星在轨运行轨道周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。
设n S 为卫星在轨运动的平均角速度，则有
前面已经得到描述卫星轨道运动的5个积分常数Ω，i，e，ω，a。经推导，还可得下式
上式中E为偏近点角，τ即为最后一个积分常数。此公式称为开普勒方程，在偏心率e≠0时没有理论解，通常使用数值方法来计算E值。式中，当t=τ时，E=0，τ为过近地点的时刻。
最后引进两个角度f和M，定义为
f、M和E是三个角度，分别称为真近点角、平近点角和偏近点角，都是从近地点开始计量的，沿着卫星运动方向为正。E的几何意义见图2-3，图中O是椭圆的一个焦点（也是坐标原点），O′是辅助圆的圆心，椭圆轨道上点S是卫星。
图2-3 椭圆轨道真近点角与偏近点角关系
至此，6个积分常数Ω、i、e、ω、a、τ都已获得，二体问题已经解出。这6个积分常数通常被称为6个轨道根数。a、e是确定轨道大小和形状的根数；i、Ω、ω是轨道平面和半长轴（也称拱线）的空间定向根数；第六个根数τ往往被三种近点角f、M和E之一所代替，特别是平近点角引用。三种近点角本身并不是常数，它们均随t变化，故也被称为时间根数。
由公式2-15和公式2-16得
式中
对公式2-17，从E求M容易，但从M求E就很困难，下面就以选代法求解，此法也称渐近法。当偏心率e很小时，此法较适用。在以下计算中均设M和e为已知量。对公式2-17，因e不大，先略去第二项，得一次近似值
将所得粗略近似值E 1 代入右边第二项得二次近似值
再将所得E 2 值代入右边第二项得三次近似值
如此逐次选代，一直到n次得
n越大，所得E n 值越准。这种渐次逼近过程，一直进行到连续二次相邻近似值的差数小于计算E所要求的精度为止。
由于人造卫星是由运载火箭送上天的，因此人造卫星轨道根数与运载火箭工作终了时参数（入轨参数）密切相关。实际上它决定了卫星轨道根数。具体说，运载火箭入轨点的位置和速度值决定了卫星的6个轨道根数。以下给出它们间关系式，如图2-4所示。
图2-4 运载火箭起飞点与入轨点几何关系
图中，点C为运载火箭发射台位置，即是运载火箭从地面起飞点，K为运载火箭入轨点，且过点K直线
平行于过点C的水平线
。图中θ
K
为弹道倾角，它是入轨点速度向量
与运载火箭发射台水平面
间夹角，δ
K
为运载火箭从起飞到入轨所经过地心角。且有下述关系式：
式中，ϑ
K
为当地弹道倾角，它是入轨点速度向量v与当地水平面
间夹角。
设t K 、r K 和v K 依次为运载火箭在入轨点的时刻、向径和速度，则有下述关系式：
（1）轨道半长轴a
（2）椭圆偏心率e
图2-5 运载火箭从起飞到入轨点航迹方位角
（3）轨道倾角i
式中，A K 为运载火箭从起飞到入轨点C航迹方位角，它由北极顺时针方向起算，φ K 为入轨点地理纬度（如图2-5所示）。
（4）近地点幅角ω
（5）升交点赤经Ω
式中，λ E 为入轨时地球坐标系与地心赤道坐标系经度差，可由天文历书查得，λ k 为入轨点地理经度。式中等号右端第3项，当i小于90°时，取负值，当i大于90°时，取正值。
（6）过近地点时刻τ
由上述诸式知，只要知道运载火箭入轨时刻t K 的6个参数r K 、v K 、λ K 、φ K 、ϑ K 、A K 就可完全确定卫星的6个轨道根数。
设所用的坐标系仍为地心赤道直角坐标系，在此坐标系中假定已知卫星初始时刻t
0
的位置分量x
0
、y
0
、z
0
和速度分量
、
、
，则可通过换算获得全部轨道根数及相关参数的计算式如下：
由公式2-24和公式2-25代入公式2-26即可得轨道根数a。
将前面已知数据代入公式2-27可得E和轨道根数e。
将前面已知数据代入公式2-28可得轨道根数τ。
将前面已知数据代入公式2-29，再代入公式2-30可得轨道根数i。
将前面已知数据代入公式2-31，可得轨道根数Ω。
将前面有关数据代入公式2-32和公式2-33求得θ和f，再代入公式2-34可得轨道根数ω。
设所用的坐标系仍为地心赤道直角坐标系，在此坐标系中，若已知某一时刻的全部轨道根数Ω、i、e、ω、a、τ，则利用这些已知轨道根数可求出任意时刻t的全部x、y、z、
、
、
如下：
公式2-35中前3个子公式和后3个子公式分别为卫星轨道平面中极坐标的两个轴在O-xyz直角坐标中方向余弦。
将公式2-35代入公式2-36，则得全部轨道根数表示的x、y、z值。因为各轨道根数已知，所以只要知道任意时刻t的E值，即可求得对应的x、y、z值。
同样，将公式2-35代入公式2-37，则得全部轨道根数表示的
、
、
值。因为各轨道根数已知，所以只要知道任意时刻t的E值，即可求得对应的
、
、
值。由此可见，求解卫星的位置值和速度值关键问题是要知道E值，即求解开普勒方程公式2-15。
卫星在地面上的投影点称为星下点，星下点的位置一般用地理经度、地理纬度表示。随卫星的运动和地球本身的旋转运动，星下点也相应移动，星下点形成的轨迹称为星下点轨迹。由于地球是非规则的球形，近似为椭球，因此，根据不同的分析精度要求，星下点有不同的定义。
定义1：视地球为圆球体，地心和卫星的连线与地面的交点定义为星下点，见图2-6（a）。
定义2：视地球为旋转椭球体，地心和卫星的连线和椭球面的交点定义为星下点。见图2-6（b）。
定义3：视地球为旋转椭球体，把卫星在椭球面上的垂直投影点定义为星下点，见图2-6（c）。
图2-6 地心天球表示星下点
为了简单，本书采用定义1，即视地球为圆球体，把地心和卫星的连线与地球表面的交点定义为星下点。可以推得椭圆轨道运动星下点地理经度λ和地理纬度φ的表示式如下：
式中，ω E 为地球自转角速度；t N 为卫星过升交点时间。由上述表示式知，要得出λ和φ随t的变化情况，须先求解开普勒方程公式2-15，得出E随t的变化情况。
当卫星的轨道为圆轨道时，可简化为如下公式：
式中各轨道根数均已知，T仅为已知轨道根数a的函数，ω E 也是已知数，所以只要将这些已知参数代入上式，即可计算任意时刻t的λ和φ值，以获得星下点轨迹。图2-7是倾角为60°高度为500km的圆轨道卫星的星下点轨迹，图2-8是带有小倾角的静止轨道星下点轨迹。
图2-7 倾角60°高度500km的圆轨道卫星的星下点轨迹
图2-8 带有小倾角的静止轨道星下点轨迹
圆轨道卫星对地球覆盖特性如图2-9所示。
图2-9 圆轨道卫星对覆盖地球特性示意图
图中设地球为一个圆球体，其半径为R E ，卫星S的高度为h，相应的星下点为G，与地面观察点P距离为d，地面观察点观测卫星的最小可视角为E（地面观察点星地连线与当地水平线间夹角，即仰角），卫星S星下覆盖区对应地球半中心角（覆盖半地心角）为α，对应卫星对地覆盖视场角（半锥角）为β，则它们之间有如下关系式：
式中，v为圆轨道卫星运行速度；T为圆轨道卫星运行周期；c为光速；t P 为地面观察点到卫星的时延；A S 为卫星在地球表面的覆盖区面积；r E 为卫星在地面上的覆盖半径；L E 为卫星在地面上的覆盖弧长；L S 为地面观察点可以通信的卫星轨道弧长；t S 为地面观察点可以与卫星通信的最长时间。
在以上诸式中，只要设定h、E（通常取5°～15°），在已知半径R E 下，即可求得圆轨道单颗卫星对地球覆盖特性各项参数。
图2-10 卫星覆盖带示意图
利用单颗卫星对地面进行覆盖的时空性能很差，如利用多颗卫星组成卫星环则可以显著改善对地面目标的覆盖性能。对于圆轨道，多颗卫星组成卫星环中任意两颗相邻卫星之间的几何关系如图2-10所示，相关参数可由公式2-51、公式2-52求出：
式中，α为单颗卫星覆盖的半地心角宽度；Ψ为覆盖带的半宽度；Q为轨道平面内卫星数；π/Q为卫星之间半地心角宽度；φ是给定的纬度；δ 是覆盖带半宽度Ψ在纬度为φ的纬度圈上并以该纬度圈中心为圆心计算出的圆心角。
以上讨论的人造卫星运动都是把地球看成一个理想的球体，即一个质量均匀分布的圆球状天体，并且只考虑仅在它的引力作用下运动。也就是说，把人造卫星绕地球的运动完全作二体问题来研究。实际上地球并不是一个理想的球体，施于卫星的力除地球引力外，还有其他各种外力的作用。在这种情况下，与二体问题运动不同，轨道根数不再是常数，而是随时间变化的变数。卫星的实际运行轨道相对于二体问题轨道的偏离，称为轨道摄动。引起轨道摄动的外力称为摄动力。卫星的摄动方程可以写成如下：
式中，等式右边第1项为均匀球形地球对卫星的引力加速度，即为二体问题部分；第2项
为其他各种摄动力加速度。
由分析知道，各种摄动力与均匀球形地心引力相比是一个小量，它的一阶系数约为10 -3 量级。因此，对不长时间间隔，二体问题椭圆轨道可看作描述卫星运动的一个较好近似。
在摄动力作用下，卫星的运行轨道是不断变化着的椭圆。卫星在不同时刻沿着不同椭圆运动，这样的椭圆称为密切椭圆。密切椭圆的包络线即为卫星的实际轨迹。
下面讨论各种摄动力对卫星运动的影响。严格的计算应求解上述摄动方程。现为简便起见，只给出求算结果或只叙述摄动对卫星运动的影响。
实际地球不是一个圆球体，而较接近椭球体，其椭球体半长轴（赤道半径）约为6378.164km，半短轴（极半径）约为6356.779km，平均半径约为6371.03km。其扁率（也称扁度）
因此，地球的形状是在赤道部分有些隆起的近似旋转的偏平椭球体。地球形状的摄动主要由此扁率引起。通过求解摄动方程可得出如下结论：椭球体地球扁率将引起Ω、ω值的长期摄动。其影响如下：
（1）轨道面旋转：轨道面旋转速率
式中，R
EQ
为地球赤道半径；
的量纲为度/天。由上式表明，轨道面绕地球自旋轴反向旋转，旋转时，轨道倾角i不变。对顺行轨道（0°＜i＜90）°，升交点西退；对逆行轨道（90°＜i＜180）°，升交点东进；对极轨道（i=90）°，轨道面方位不变。
（2）轨道长轴旋转：轨道长轴旋转也称近地点进动，它由近地点幅角ω随时间的变化来描述。
式中，
的量纲为度/天。由上式表明，长轴按一定速率
移动。上式当
时，即i为63.4°或116.6°时
，长轴不旋转。当63.4°＞i＞116.6°时，
，长轴与卫星同向旋转；当63.4°＜i＜116.6°2时，
，长轴与卫星反向旋转。
由上两式还可看到，卫星高度越高，即半长轴a越大，
和
越小。因此，这种摄动对近地卫星影响较大，对高轨卫星影响较小。
由牛顿万有引力定律可推得日、月引力对卫星产生的加速度
式中，M为太阳（或月球）的质量；M
E
为地球的质量；r为地球到卫星的距离；r
E
为地球到太阳（或月球）的距离；β为矢径
与
间夹角。
由上式看到日、月引力摄动引起的加速度将随日、月与卫星间几何关系变化而变化。此外，a S1 与r成正比，所以日、月引力摄动对低高度（r甚小）卫星影响甚小，大致相当于地球引力场的高阶项摄动。但对高轨道（r甚大）卫星不能忽视。对静止卫星来说，日、月的摄动甚至超过地球引力场的二阶项，它使静止卫星的轨道倾角平均每年约有0.86°变化。
大气阻力是由地球周围大气产生的与地球运动方向相反的摄动力。大气阻力引起的卫星加速度如下：
式中，C D 为阻力系数，与卫星形状和姿态有关；S为迎风截面积，与卫星尺寸有关；M S 为卫星的质量；ρ为大气密度，它基本上按指数律随卫星高度而减小；v D 为卫星相对于大气的飞行速度。
由上式可知，大气阻力摄动对轨道比较低、面积质量比较大的卫星影响比较显著。大气阻力使卫星轨道呈螺旋线下降。最后堕入稠密大气层殒毀。通常认为，卫星轨道降低到高度低于120km的圆轨道时，便很快结束轨道寿命。
由于静止卫星高度大气密度近似为零，故大气摄动与其他有关摄动相比可忽略不计。
太阳电磁辐射作用于物体表面所产生的辐射压力称为光压。当太阳光照射到卫星时，卫星受到太阳光辐射压力所产生的加速度为
式中，A S 为卫星垂直于太阳光方向的截面积；I为当太阳光垂直投射于星体表面，单位时间内投射到单位面积上的能量；M S 为卫星的质量；c为光速；K S 为卫星表面反射系数。
分析表明，对低轨卫星，其影响远小于地球大气摄动和地球扁率摄动。但当卫星高度相当高，又带有大面积太阳电池翼时（例如大容量静止通信卫星或广播卫星），其影响就不能忽视了。
根据所选的参照点不同，卫星轨道可以分为下面的不同类别：
按照轨道的倾角不同，可以分为赤道轨道（倾角i=0°）、顺行轨道（倾角i<90°）、极轨道（倾角i=90°）、和逆行轨道（倾角i>90°）；
按照轨道偏心率的不同，可分为圆轨道（偏心率e=0）、椭圆轨道（0<偏心率e<1）、抛物线轨道（偏心率e=l）和双曲线轨道（偏心率e>l）；
按照轨道高度的不同，可分为低轨道（700km<高度h<1500km）、中轨道（5000km<高度h<13000km）和高轨道（高度h>20000km）；其中三种轨道高度范围选择考虑了避开范·艾伦辐射带，见图2-11。
范·艾伦辐射带（Van Allen Belts）是以其发现者命名的绕地球存在的辐射带，它是带电粒子组成的高能粒子带，表现为强电磁辐射。其中的α粒子、质子和高能粒子穿透力强，对电路破坏性大。范·艾伦辐射带由高度不同的环绕地磁轴的内、外两层圆环带组成，一般认为，内带从1500～5000km，外带从13000～20000km。此外，当卫星高度低于700km时，大气阻力严重影响轨道参数，卫星寿命缩短。例如，400km高的圆轨道，卫星寿命为160天；当卫星高度大于1000km时，可以忽略大气阻力对卫星寿命的影响。所以，低轨道卫星高度下限为700km。
按照轨道的重复特性方面来分，可以分为回归轨道、准回归轨道和非回归轨道。
图2-11 范·艾伦辐射带与卫星轨道层分布示意图
如果卫星在1恒星日内绕地球飞行整M圈，即轨道周期为1恒星日的1/M，第2恒星日起始时，恢复到第1恒星日相对地球的状态，则称这种轨道为回归轨道。如果轨道周期不是1恒星日的1/M，而是N个恒星日飞行整M圈，即轨道周期为N/M，N和M互质，且N>1，则称这种轨道为准回归轨道。
其中恒星日与太阳日的区别如图2-12所示。太阳日：以太阳为参考方向，地球自转一圈所用的时间，其长度为24小时；恒星日：以无穷远处的恒星为参考方向，地球自转一圈所用的时间，其长度小于太阳日长度，为23小时56分04秒。
回归周期的长短与卫星承担的使命有关。卫星在这种轨道上运行，每经过一个回归周期，卫星又出现以前经过的地区，可以发现，在一个回归周期内地面目标的变化。这样有可能了解到地面诸如工程建设的进程、军队的调动、农作物生长、自然灾害的形成过程等信息。这些信息对国民经济建设、国防建设、军事行动等都有实用价值。
如果轨道升交点经度Ω的进动角速度
与地球绕太阳公转的平均角速度ω
S
相等，则此轨道称为太阳同步轨道。也就是说，该卫星轨道平面在空间的移动与太阳向东运动（从地球上看）同步，在此情况下，卫星轨道平面与太阳的夹角保持不变如图2-13所示。
图2-12 恒星日与太阳日比较
图2-13 太阳同步轨道
根据轨道的高度，选择适当的倾角，便可利用地球扁率引起的摄动，实现太阳同步轨道。太阳同步轨道的倾角与高度有直接的对应关系，选用倾角i大于90°轨道。使轨道面向东运动，与地球公转方向一致，再令轨道进动速率
等于地球绕太阳平均角速度ω
S
，即可实现太阳同步如下式
再代入公式2-54
将地球赤道半径R EQ =6378.614代入上式可得：
太阳同步轨道在实际应用中，都采用近圆轨道，在轨道设计时可按圆轨道来处理。则上式简化为
低高度圆形太阳同步轨道近似为极轨道。由于cos i的最小值为-1，所以，圆形太阳同步轨道的高度不会超过6000km。
太阳同步轨道有一个显著特点，即航天器在太阳同步轨道每圈升段（或降段）经过同一纬度上空的当地时间相同。
太阳同步轨道主要用于对地观测卫星。这种轨道的优点是可以保持太阳光线与轨道面的夹角不变。因此，这种轨道卫星的太阳电池阵能得到较好的光照条件；同时，对于可见光对地观测卫星，可以得到地面上的较好光照条件。实际应用时，对地观测卫星常选取太阳同步的回归轨道。
临界倾角轨道是指近地点幅角的平均变化率
为零的轨道，即轨道长半轴指向不变的轨道，也称为拱线静止轨道。根据地球非球形摄动中，地球扁率对拱点进动率
影响的计算公式2-55可知，只要满足于5cos
2
i-1=0，即i=63.4°或i=116.6°就满足
。i=63.4°或i=116.6°被称为临界倾角。
近地点幅角不变，则远地点幅角也不变。若采用大偏心率的临界倾角轨道，ω采用90°或270°，可以使航天器的星下点长时间的靠近远地点迂回。例如，苏联的闪电（Molniya）通信卫星就是采用大椭圆临界倾角轨道。其轨道参数：2a=58000km（T=12h），e=0.75，i=63.4°，ω=270°。其近地点在南半球，高600km，远地点在北半球，高约40000km。此卫星在12个小时的轨道周期中，有近11小时的时间处于北半球高纬度地区。同时，此卫星轨道1个平均恒星日运行2圈，属于回归轨道，其星下点轨迹见图2-14。
极轨道是指轨道倾角i=90°的轨道。由公式2-54知，当i=90°时，
。即地球扁率引起的摄动力对轨道平面无影响。分析表明，即使在各种摄动力的影响下，运行时间足够长时，轨道平面的摆动范围仍然较小。理论上极轨道有无数条。极轨卫星的运行轨道可以覆盖地球的南北两极区域，常用来对南北两极的海洋、气象和环境等进行遥感、遥测。
图2-14 闪电通信卫星星下点轨迹
地球静止轨道中的卫星相对地球是静止的，因而地球静止轨道也称对地静止轨道。地球静止轨道是倾角和偏心率都为零，周期等于地球自转周期的顺行轨道。根据轨道周期为一恒星日T=23时56分04秒，可得出静止轨道半长轴应为
取地球赤道半径为6378km，则相应的轨道高度应为35786km，这个高度称为同步高度。
地球静止轨道卫星运行在赤道面内，定点于选定的经度上空，这种轨道上卫星拥有与地球表面通信观测地球站点固定的相对位置和对地球宽覆盖的能力，十分适用于通信、观测等任务，赤道面上均匀分布三颗通信卫星便可以实现除极区外的全球通信。
实际上，由于各种摄动力的存在，地球静止轨道卫星受到摄动影响，轨道参数将发生改变，偏离其定点位置，需要用测控系统进行卫星轨道位置的保持。
由于静止轨道的零倾角保持需要消耗卫星推进剂，因此要维持卫星零倾角在轨运行寿命需付出一定的代价。随着使用宽波束天线小型便携用户终端和手持用户终端出现，对卫星零倾角保持要求的降低，已开始应用小倾角地球同步卫星。此外，静止轨道上的位置资源有限，增添小倾角地球同步卫星可以提高静止轨道资源利用率。这种卫星的轨道周期仍然和地球自转周期相等，但卫星相对地面并不是静止的。
轨道周期与地球自转周期相等的轨道称为地球同步轨道，显然，对地静止轨道是地球同步轨道的一个特例。
倾角不为零的同步轨道卫星以及倾角受摄动影响改变的静止轨道卫星的星下点轨迹为一个“8”字，如图2-8所示。