3.4 岁差和章动转换矩阵

CIP在天球参考系中的运动引起的岁差—章动旋转矩阵M（t），根据IAU 2006决议和术语工作组推荐，可以通过两种等价的方法计算，分别是传统的基于春分点的转换方式，以及基于天球中间零点的转换方式。两种方法中，M（t）矩阵因为经度起量点的不同，有各自的表达式。

1.基于CIO的转换

示意图参考图3.5,Σ是在CIP赤道上的点，并且满足[NΣ]=[NΣ ₀ ]，Σ ₀ 是GCRS的零点，N是CIP赤道和GCRS赤道的交点。

基于CIO的转换中，岁差—章动矩阵为

用CIP的直角坐标X和Y，矩阵M _Σ 可以写为

其中，a=1/（1+cosd）≃1/2+（X ² +Y ² ）/8。IAU 2006/2000岁差—章动模型中，X和Y的表达式为

X和Y包含了参考架偏差、岁差和章动的影响，并直接给出了CIP在GCRS中的位置。CIO的位置为（3.16）式（单位：µas），即

（3.15）和（3.16）式中的ARGUMENT是章动的基本变量（日月项和行星项）的线性组合，具体表达式可以参阅IERS规范2010（Petit,et al.,2010）。

考虑天极偏差dX和dY的贡献，可以得到与观测符合的高精度岁差—章动矩阵，即

其中dX和dY为天极偏差，其是观测得到的CIP位置与理论估计值之差。因而，如果需要高精度的CIP位置，可以在IAU模型估计值的基础上加上IERS公报中的天极偏差，即

（3.17）式中，M _IAU 是IAU 2006/2000岁差—章动矩阵。而最简化的CIO转换矩阵可以写为

X和Y也可以由下列近似公式计算，即

其中τ是从J2000.0起算的天数，Ω=2.182−9.242×10 ⁻⁴ τ（radians）。

在21世纪，近似公式（3.20）与精确公式估计CIP位置的差别不超过0".9，对于那些参考系转换精度要求不高的工作仍适用。

2.基于春分点的转换

基于春分点的转换方法，岁差—章动矩阵可以写为

N、P、B分别为章动、岁差和参考架偏差矩阵。利用IAU 2006/2000岁差—章动理论中的参数（基本赤道岁差参数ψ _A 和ω _A ，黄道岁差的导出量χ _A ，以及瞬时黄赤交角ε _A ），这些矩阵可以写为

其中黄经和交角章动是与IAU 2006岁差相符的公式（3.9）和（3.12）式。（3.22）式中各岁差参数的意义可参考图3.6。

（3.22）式中的四次旋转的岁差矩阵P将赤道岁差（源于日月和行星对非球形地球的力矩）和黄道岁差（源于行星对黄道面的摄动）清楚地分开，即黄道岁差和赤道岁差都是相对于 J2000.0的固定黄道来计算，未来岁差理论的进一步发展也将利用这个公式中的参数。

（3.21）式中，参考架偏差矩阵B即（3.2）式。

（1）岁差量的计算

其中t是自标准历元J2000.0起的计算历元（TT时刻）的儒略世纪数，即

（2）章动量的计算

IAU2000章动模型的ε _A 为瞬时平赤道面与黄道面的交角，称为平黄赤交角，计算公式为

黄经章动Δψ和交角章动Δε的计算公式为

其中Δψ _p ,Δε _p 是行星章动的长周期项，有

（3.26）和（3.27）式中t的意义同前，见（3.25）式。

章动序列中的幅角α _i ，对日月章动而言，其可表示成5个基本幅角的线性组合形式，即

式中n _ik 是整数，5个与太阳、月球位置有关的基本幅角F _K 由下式表达，即

这5个与太阳、月球位置有关的基本幅角F _k （k=1,,5），分别为月球的平近点角、太阳的平近点角、月球的平升交点角距、日月平角距和月球轨道升交点平黄经。

章动序列中的幅角α _i ，对行星章动而言，其可表示成个8个行星基本幅角以及总岁差p _A 的线性组合形式，即

行星章动序列的基本幅角由下式表达，即

下表3.3列出 IAU 2000A _R06 章动模型主要项系数 _i A、A _i ′、A _i ′、′ A _i ′′′、B _i 、B _i ′、 。

表3.3的系数和时间变量的单位分别为μas和μas/世纪。该表完整的电子版可参见ftp://tai.bipm.org/iers/conv2010/chapter5/。

长期以来使用的传统赤道岁差参数转换方法，利用了 J2000.0平赤道参考系和t时刻平赤道参考系转换的欧拉角ζ _A 、θ _A 和z _A ，即如下三次旋转方法（几何关系见图3.6）。

这个三次旋转的岁差矩阵被广泛使用，但是其中的赤道岁差角都是从基本参数和球面三角关系得到的导出量，不利于直接从理论上修改岁差速率。考虑到现在参考系转换的起点是GCRS，而非J2000.0平赤道参考系，z _A 和ζ _A 在接近J2000.0的时候，对参考架偏差矩阵B非常敏感，从而导致它们不能用多项式表达，精度大大降低，所以，应该尽量避免使用这种传统的岁差转换方法。

IAU 岁差与黄道工作组推荐了另一种四次旋转的岁差矩阵，即 FukushimaWilliams方法（Fukushima,2003），见图3.7,P _GCRS 、 、P分别是GCRS的极、t时刻平赤道的极、t时刻CIP赤道（真赤道）的极，C ₀ 和C分别是J2000.0和t时刻的北黄极。这个方法可以直接将参考架偏差和章动加到岁差参数中，另外，它利用的是相对于 t 时刻黄道的黄经和交角岁差，因此可以很方便地加上 IAU 2000的章动角。相对于GCRS（即将参考架偏差ξ ₀ 、η ₀ 和dα ₀ 的影响考虑在内）,Fukushima-Williams岁差角为（3.38）式。

其中dγ ₀ =−0".052928是J2000.0黄道对GCRS赤道升交点的赤经（图3.1（b）中γ _FK5 与Σ ₀ 的距离）。利用 可以构造参考架偏差和岁差矩阵PB，即

在ψ和ε的基础上加上和IAU 2006相符的章动角（见式（3.12）），即

就可以得到基于春分点转换的NPB矩阵，即

这个矩阵的第三行前两个元素就是CIP的坐标X和Y，即

这样，通过上述的CIO或者传统的春分点转换方法，完成了岁差章动的转换矩阵计算，其中Fukushima-Williams 方法是比较简洁的方法，并能有效地将传统和新方法联系起来。需要指出的是，无论用哪一组参数，只要使用相同的岁差—章动模型，所得到的矩阵都应该是相同的。IAU推荐使用基于CIO的转换方法，但是岁差参数的选择留给用户自行决定。CIO 转换矩阵和春分点转换矩阵通过零点差（EO）联系起来，即 2h3dLi29i+h9ZY14qm08ZFngYG+aY2WVO8nkrEDqIhcRMFHM7bvroTHo6lceRGW4