2.2.1　图像的信源熵

由于图像信息的压缩处理必须在保持信息源的信息量不变，或者损失不大的前提下才有意义，这就必然涉及信息的度量问题。为此可将信息论的有关方法运用到图像信息的度量中，如计算图像的信源熵。

1．无记忆信源熵

设信源 X 可发出的消息符号集合为{ a ₁ , a ₂ ,…, a _i ,…, a _m }，各个符号出现的概率对应为{ P ( a ₁ ), P ( a ₂ ),…, P ( a _i ),…, P ( a _m )}，且 。信源 X 发出某一符号 a _i 的信息量可以用该符号出现的不确定性来定义。不确定性越大，即出现的概率越小，越不能够预测它的出现，它一旦出现带给人们的信息量就越大；不确定性越小，情况则相反。可见符号 a _i 出现的不确定性实际上和该符号出现的概率 P ( a _i )大小相反，在此基础上定义符号 a _i 出现的自信息量（单位是bit/符号）为

如果信源 X 各符号 a _i 的出现是相互独立的，则称这类信源为无记忆信源。对信源 X 的各符号的自信息量取统计平均，可得信源的平均信息量为

称 H ( X )为信源 X 的熵（Entropy)，单位为bit／符号，通常也称为 X 的0阶熵，它可以理解为信源 X 发出任意一个符号的平均信息量。

对于实际用作观察的图像而言，要考虑的不是大量的图像（把某一幅具体的图像作为一个“符号”）构成的集合，因为这样的集合其元素量巨大，如一幅256×256的8bit的灰度图像，共有(2 8 ) 256×256 种可能性。如果仍以图像作为基本符号单位，就难以处理而且不再具有实际意义。比较直观、简便的方法是把图像分割为小尺寸图像，甚至将每个像素值作为一个信源符号，这时，公式中的 P ( a _i )为各像素值出现的概率， H ( X )的单位为bit/像素。

2．有记忆信源熵

无论是经验还是通过实验测试都足以表明，具有实际意义的图像，其相邻的像素之间总有一定的联系，或者说，图像信源是一种有记忆的信源。

对于有记忆信源，可以从联合熵的概念出发，考察图像的信源熵。为了简单起见，在一个有记忆的信源中仅考虑相继的 N 个符号之间存在关联的情况，或者说 N -1阶Markov过程：某一符号的出现只和它前面 N -1个符号有关，而和它更前面第 N 个、第（ N +1）个、第（ N +2）个等符号无关。把这些有关联的 N 个符号序列当作一个新符号 。设一个原符号（如 a _i ）有 L 个取值（如 L =256），则一个新符号有 L N =n 种不同的取值，新符号集 共有 n 个新符号，即 i =1,2,…, n 。信源发出新的符号 的概率用 表示，显然它不是原符号序列中各符号的概率乘积。对于这种信源，每个新符号的平均信息量为

式中， n 是新符号的总数； H ( B ( N ) )的单位为bit/新符号。习惯上用 N 除以上面的熵值，作为每个原符号的平均熵值：

在式（2.6）中，如果考虑以像素为符号，则 H _N 的单位为bit/像素。可以证明，对于同一有记忆信源， ，说明用联合熵计算，充分利用了符号之间的相关性，得到的信源熵小于将信源符号当作独立符号时的信源熵。

还可以从条件熵的概念出发来计算图像的信源熵。对于 N -1阶Markov过程，考虑单个符号出现的平均信息量，即条件熵。对于这种情况，信源发出一个符号 a _j ，和它前面的（ N -1）个符号之间存在一个转移概率 。在特定的 的条件下， a _j 出现的平均信息量为 。根据定义，上式对各种 出现的平均信息量为 ，即为图像的 N 阶条件熵。在信息论中已证明，对平稳的符号序列，当 N 很大时，条件熵与式（2.6）计算的结果是一致的。 4oF5ZPgZjOpqv0/OUl0o3arBco2icI80Be7/taxgPTUYfPLEqjn1swxbuUj05mPQ