1.2.2　变换编码方法

基于图像统计特性进行数据压缩的另一类基本方法就是变换编码（Transform Coding）：将空间域描述的图像经过某种变换（如离散傅里叶变换、离散余弦变换、沃尔什变换等）形成变换域中的数据（系数），达到改变数据分布、减少记录数据量的目的。

1．正交变换

在变换编码中，正交变换是一种最常见的数据处理手段，它把统计上彼此密切相关的像素值所构成的矩阵通过线性正交变换，变成统计上彼此较为独立、甚至完全独立的变换系数矩阵。信息论的研究表明，正交变换不改变信源的熵值，变换前后图像的信息量并无损失，完全可以通过反变换得到原来的图像值。但是经过正交变换后，数据的分布发生了很大的改变，系数（变换后产生的数据）在变换域坐标系分布趋于集中，如集中于少数的直流或低频分量的坐标点。

因此，尽管正交变换本身并不压缩数据量，但数据的集中分布为在新坐标系中的数据压缩创造了条件。例如，可以通过量化操作，保留少量有效数据，去除大部分零数据或接近零数据。由于去除了大部分相关性，系数分布相对集中，有利于采用更加有效的表示方式，如“Z”（Zig - Zag）字形扫描、变长编码等，从而获得对图像信息量的有效压缩。

2．DCT变换

离散余弦变换（Discret Cosine Transform，DCT）是视频编码中应用最广的一种正交变换，这里以8×8的二维图像 f ( x , y )为例，其二维DCT变换定义为

二维频谱 F ( u , v )的二维DCT反变换定义为

式中， 。

从上面的定义可以看出，DCT本质上和傅里叶变换一样，可以反映信号的频域特性。傅里叶变换是复杂的复数运算，而DCT变换是一种相对简单的实数运算，而且正反变换基函数一样。由于DCT的这一特性，在实际实现DCT变换时，只要用同一种硬件或同一段程序，既可以进行正向DCT变换，又可以进行反向DCT变换。从DCT的表达式还可以知道，二维DCT是一种可分离的变换，可以方便地分别对两个变量进行一维DCT变换。

在目前常用的正交变换中，DCT变换性能仅次于理论上最佳的可以完全除去相关的K-L变换，所以DCT变换被认为是一种准最佳变换。DCT变换矩阵与图像内容无关，去相关性好，有快速算法（FDCT），实现方便；DCT的基函数是偶对称的数据序列，避免了子图像边界处的跳跃和不连续现象。因此，在图像编码的应用中往往都选择二维DCT作为变换矩阵。在历年来颁布的一系列视频压缩编码的国际标准中，都把基于块的DCT变换作为其中的一个基本处理模块。

采用DCT变换的图像压缩编码基本框图如图1.4所示。根据DCT系数集中在低频区域、越是高频区域系数值越小的特点，以及人眼的视觉特性，通过设置不同的视觉阈值或量化电平，将许多能量较小的高频分量量化为0，可以增加变换系数中0的个数，同时保留能量较大的系数分量。对量化后的系数还可以再进行变长编码，从而获得进一步的压缩。

3．整数变换

整数变换（Integer Transform）的原理、过程和DCT变换基本相似，但不是实数运算，而是整数运算，其变换单位通常是4×4块（或8×8块）。这种方法的优点在于：在编码器和解码器中允许精度相同的变换和反变换，便于使用简单的定点运算方式，避免了计算机中常有的“取整误差”和“反变换误差”。

基本编码过程是将二维整数变换分解为两次一维整数变换，即先完成4行一维整数变换，再完成4列一维整数变换。设 a 、 b 、 c 、 d 是4个变换点的输入像素值， A 、 B 、 C 、 D 是对应的4个变换系数，则 a 、 b 、 c 、 d 的一维整数变换的正变换公式为

一维整数变换的反变换公式为

式中， a ′、 b ′、 c ′、 d ′表示恢复系数， a ′=676 a ≠ a ， b ′、 c ′、 d ′也是如此，这是因为变换和反变换公式没有进行尺度归一化。为了简化操作、减少计算量，尺度归一化可以结合到量化过程中进行。在变换域系数分布方面，整数变换与DCT变换类似，二维整数变换后4×4块左上角的值为DC系数，其余15个为AC系数。 Pm5JaOGMFWcRysRYeArnI+ng6IdjVue3DVzRfaxO5wPAJ80QBoAE92OwhID9HnWI