2.7　星座优化设计

所谓协作优化方法，就是对原始设计问题进行分解，得到多个子问题，然后通过一定的结构和组织，对子问题进行协调和综合。从优化的角度来看，星座系统设计的复杂性体现在以下几点。

（1）设计变量包括连续、离散和整数3种类型，形式较为多样。

（2）设计分析多采用仿真方式，无法获得目标函数关于设计变量的导数信息。

（3）优化问题具有高度的非线性和复杂性，解空间一般是不连续的。

（4）由于各个子问题的特殊性，导致各子问题需要采用不同的优化算法进行本系统设计空间探索。

因此，传统的优化方法（如基于梯度的寻优算法和整数规划方法）只能解决部分问题。如果要完整解决星座优化设计问题，那么必须建立新的优化体系，并对多种优化方法进行集成。为此需要寻求一种协同机制来设计复杂系统和子系统，这种机制应充分利用系统中相互作用关系，采用有效的优化设计算法策略，组织和管理设计过程。作为一种系统设计的方法论，多学科优化方法是考虑多个学科间相互影响的一系列概念、要求、过程及算法的方法体系。这种系统设计方法可以使设计者自由地从各学科中改进系统设计性能。它适合于星座系统一体化设计问题的描述与求解。

2.7.1　系统协调

目前，已经有大量的文献从体系构成、成本、性能、运行方案和可靠性等单个方面对天基监视系统进行了较为深入的分析。但是，星座系统整体设计必须考虑各个子系统之间相互影响和相互制约的关系。从系统分析的角度来看，复杂性体现在不同学科之间共享设计变量，而子系统分析的状态变量之间存在耦合性。为了有效进行星座系统设计，必须对系统问题进行分解、组织和协调，将复杂的、难以处理的问题划分为多个易于处理的子问题，同时保持子问题之间的固有耦合关系 ^［8］ 。

根据子问题之间的耦合关系，在多学科优化设计中通常将它们分为3种基本类型，即耦合、信息单向传递和独立。而星座系统设计是多个子问题耦合的复杂系统设计问题，包括星座构型设计、航天器、发射、系统可靠性和成本等。共享的设计变量较多，并且各子问题状态变量之间的耦合性较强。各子问题优化设计的组织和它们之间的耦合关系可表示为设计结构矩阵（Design Structure Matrix，DSM），如图2.7.1.1所示。图中对角线上的方框表示过程，竖线表示到过程的输入，水平线表示过程的输出，最上方和最下方的方框分别是系统级的约束条件和设计变量，其他小方框表示两个过程间的状态变量联系。

在星座系统一体化优化设计中，设计结构矩阵较为清晰地描述了各个子问题之间的相互关系和信息的传递，其中， X 为系统级设计变量组成的矢量（也称向量），简称设计矢量。若设计问题涉及 k 个子问题，各子问题的设计变量为 X 的分量，分别为 X ₁ 、 X ₂ 、……、 X _k 。设计矢量中的某些设计变量只和某一子问题有关，如航天器发射功率、孔径直径等，这些设计变量被称为局部变量。有些设计变量同时和几个子问题有关，如星座数目、轨道高度等，这些设计变量被称为全局变量。将所有变量都当作全局变量，或将变量划分为全局变量和局部变量，这两者从协作优化方法的角度看是没有差别的。因此，这里将所有设计变量都当作全局变量。

Y 是状态变量组成的矢量，简称状态矢量。状态变量是不独立的，这一点与设计变量不同。状态变量反映了对象在某一方面的内在性质，如雷达波束扫描的范围等。所谓系统分析，就是由一个特定设计矢量确定相应的状态矢量的过程，而状态矢量是系统分析输出的中间矢量，因此各个子问题的状态矢量之间没有重叠部分，只与本学科问题相关。在协作优化方法中，为了实现学科间的解耦，状态变量一般被当作设计变量处理。

C 为各子问题约束集合，简称约束矢量。在多学科优化设计中，所谓子问题划分，实际上就是对约束的划分。方括号表示集合，其中包含覆盖等多个约束条件。

系统级的设计变量包括航天器数目、相位因子、轨道面数、轨道倾角、轨道高度、有效载荷孔径、有效载荷发射功率等。这些系统级的设计变量为各个子问题所共享，因此也参与到各个子问题的优化设计过程当中。学科间的耦合关系是以学科分析输出的状态变量来表示的。例如，航天器设计与星座构型设计这两个子系统之间就存在耦合。航天器设计子系统需要星座构型设计子系统为其提供任务结构参数（ n _s ）、星间链路指向变化（［ φ _s ］、［ θ _s ］，统计量用方括号表示，下同）、星间相对速度变化（［ v _d ］）、星间距离变化（［ r _ISL ］）等状态变量；星座构型设计子系统需要航天器设计子系统为其提供有效载荷波束扫描范围（ φ _A 、 θ _A ，即方位角、高低角）和有效载荷波束大小（Δ θ ）等状态变量，如图2.7.1.1所示。图2.7.1.1中，［ Φ _R ］表示航天器所有与成本相关的设计参数集合；［ C _f ］表示星座构型设计的所有约束集合。其他参数含义可参见文献［3］。

从图中可以看出，这种优化组织方式中各学科之间的耦合存在着回路，也就是说，各学科优化中不仅要用到其他学科的设计变量，还需要用到其他学科的分析结果，各个学科的分析都需要兼顾其他学科。在优化过程中，这种复杂的耦合关系使得系统状态方程解算平衡解非常困难。传统的优化方法将所有的学科分析和约束联立在一起处理，既不符合自治性的发展趋势，也会造成计算代价过大。因此，必须采用分层和自治的优化策略。

2.7.2　多学科优化

目前的多学科优化主要有多学科实现（Multidisciplinary Feasibility，MDF）、同时统筹（All-At-Once，AAO）、单学科实现（Individual Discipline Feasibility，IDF）、并行子空间优化（Concurrent Sub Space Optimization，CSSO）、错落式综合系统合成（Bi-Level Integrated System Synthesis，BLISS）等方法 ^［9］ 。

在多学科实现中，对多个学科联立状态方程求解系统状态变量。多学科实现的优点主要在于优化问题的变量和形式相对简单，但是它的缺点更明显，即需要在多个学科之间迭代求得系统状态的平衡解 ^［10］ 。如果学科之间计算耦合性强，那么计算耗时颇长，因此难以解决大规模的系统优化问题 ^［11］ 。

同时统筹的学科分析最为简单，但是它的设计变量数目大大增加（设计变量加上所有子系统的状态变量），并且增加了附加的约束条件（即子系统状态方程的残差），因此对于无法求取子系统状态方程残差的场合难以应用。此外，由于将状态方程作为约束条件，这种方法对优化器的选择也有较大限制。

单学科实现介于前两种算法之间，除了系统设计变量外，系统优化变量还包括学科间耦合状态变量。单学科实现能通过引入辅助状态变量来模拟学科间的联系，从而充分利用现有的学科分析工具。它既避免了同时统筹中根本不考虑学科间一致性的低效，又避免了多学科实现中在优化的每一步进行状态方程求解的巨大计算代价，因此是对前两种算法较好的折中。

并行子空间优化将系统设计变量分配到各个子系统，每个子系统独立进行优化，各子系统优化变量互不重叠。如果某学科分析需要的系统全局变量已分配给其他学科，则可以通过耦合函数的形式进行传递。每个子系统的优化需要满足本子系统和其他子系统的约束。优化过程中，来自其他子系统的耦合变量和约束用全局灵敏度方程近似计算，而子系统的约束和目标则由子系统进行分析计算。

错落式综合系统合成对学科特有的设计变量和共享的设计变量进行分析，整个优化过程分为两个阶段 ^［12］ 。第一阶段，各学科进行系统分析求解状态变量，进行学科敏感度分析及系统敏感度分析，然后进行子系统优化，从而获得使学科目标改善的特有设计变量变化值；第二阶段，进行优化敏感度分析和系统优化，从而获得使系统目标改善的共享设计变量变化值。错落式综合系统合成已经在很多应用中得到了验证，特别适合于能够通过解析或数值方法求解全局敏感度信息的应用。

2.7.3　协作优化

1.原理

在传统工程设计中，优化过程是在一个优化器中进行的。随着设计对象复杂程度越来越高，规模越来越大，这种方式已经不能适应复杂系统工程的优化设计了。为了适应这一现实需求，人们提出了协作优化（Collaborative Optimization，CO）方法这种新型多级优化方法。协作优化方法与一致性约束优化方法不同。一致性约束优化方法每个子空间（子系统）只进行分析；而在协作优化方法中，每个子空间不仅进行分析，而且进行优化设计。协作优化方法是在一致性约束优化方法基础上提出的一种多级多学科方法。将原来复杂的设计问题分解为几个相对简单并保持分析设计自由的子问题，并对各子问题进行优化求解，进而对各子问题的优化结果进行系统级协调，这是协作优化方法的核心思想。该方法对这个过程进行迭代，直到最终获得一个好的设计方案。

在协作优化方法中，优化设计问题被分为两级，即系统级优化设计（一个）和子系统（子问题）级优化设计（多个，并行）。协作优化方法通过将状态变量加入设计变量中，以及整体协调子问题间相互作用的方式，对相互耦合的各个子问题进行解耦合，从而避免求解非线性耦合方程组的困难。同时，为了并行执行学科代码，各子问题优化应保持独立，并采用最适合的算法进行优化求解，各自控制其自身的设计变量，满足自身约束，而系统级优化工具对总的目标进行优化。这种结构和组织方式与实际设计通常采用的工作形式相吻合，但改进了保持设计模型一致性的通信和结构，由于各子问题的分析设计过程同时进行，所以缩短了设计周期，提高了设计效率。同时，这种优化体系非常灵活，可以很容易地增加子问题，也可处理大量的变量。

系统分解必须确保分解后的问题与原始问题是一致的。一致性包括解的等价性、收敛速度、收敛过程等内容。在这里，我们主要强调解的等价性，即分解后的问题的解与原问题要保持一致。对多层次多学科优化问题而言，解的一致性表现为两个方面，分别是对目标函数是否取极值及能否满足各种约束条件。约束条件分为两种：一种是设计问题本身所提的设计约束，另一种是由于系统分解而形成的一致性约束。一致性约束包括层次一致性约束与学科一致性约束，前者指系统和子系统对共享设计变量的一致性约束，后者指不同学科对状态变量和共享设计变量的一致性约束。例如，在协作优化方法中，系统级优化的唯一约束只有表征学科间输入与输出的一致性约束。一致性约束一般在系统与子系统之间（或不同子问题之间）对共享的设计变量采用“复本拷贝”的方式，用以解耦系统之间的直接联系，但是必须保证解耦后不同复本的一致性。

2.实现过程

图2.7.3.1所示为协作优化方法结构图，它给出了系统级优化设计和子系统级优化设计的关系。在协作优化方法中，将状态变量作为设计变量，因此这里的设计矢量 X 是设计结构矩阵中的 Y 和 Z 的并集。图2.7.3.1中， X ′为 X 在系统级优化后得到的最优解； X _i 为子问题 i 设计矢量的期望值； X ′ _i 为子问题 i 的设计矢量的最优解，也可称为 X _i 的本地副本。 X ′和 X 中各个分量具有一一对应关系， X ′ _i 和 X _i 也是如此。带箭头的线段表示系统级与子系统级之间、各子问题与其设计模型之间的数据交换。在协作优化方法中，系统级设计者向各子问题设计者给出设计矢量的期望值信息，各子问题设计者只考虑本子问题约束，并使设计矢量与期望值（系统级传递下来的）的差距最小。系统级设计者根据来自各子问题设计者返回的信息，按照一定规则来协调子问题间的不一致，最优化原问题的目标函数。只有当各子问题设计矢量的最优解与系统级传递下来的设计矢量期望值相重合时，各子问题间才达到一致，此时各子问题的目标函数最优解应该为零，故在系统级优化中采取了等于零的等式约束。

协作优化方法具体的实现过程如下。

（1）系统级将设计矢量的期望值 X _i 传递到各子问题中。

（2）子问题的优化。各子问题在满足自身约束的前提下，使得设计矢量 X ′ _i 尽可能地靠近系统级传递下来的期望值 X _i 。相同的设计变量在各个子问题中一般情况下值是不同的，即子问题间存在不一致。

（3）系统级的优化。系统级优化的目的在于使原问题的目标函数最优，同时对子问题间的不一致进行协调。当各子问题间达到一致时，各子问题设计矢量的最优解与系统级传递下来的设计矢量期望值应重合，而此时各子问题的目标函数最优解应该为零。

协作优化方法作为一种新的设计方法，特别适合于大规模和分布式系统的优化设计。这种分散的设计优化策略在允许对各个学科采用适合于该学科的特定解决方式的同时，也要求学科间的决策取得一致。协作优化方法的收敛性虽然还没有被严格证明，但已有研究案例表明其收敛性是可靠的。

3.星座系统设计的协作优化

从上面对各种方法的描述中可以看到，协作优化方法不需要在学科间迭代求解，不需要梯度信息，对优化器的选择没有限制，适合于星座系统设计。

星座系统设计问题在设计结构矩阵中可以分为5个子问题，按照协作优化方法的算法结构，将这些子问题按照设计任务分配到系统级和子系统级并进行优化，如图2.7.3.2所示。根据具体的任务要求和设计者关心的侧重点不同，系统级设计目标的选取也有所不同，既可以将成本作为目标，将星座系统性能作为约束，也可以将星座的某个或某些性能指标作为目标，而将成本和其他性能作为约束。这里在满足系统各种性能要求的前提下，以星座系统的运行成本最小化作为设计目标。图2.7.3.2中子系统级各过程的含义如下。

子问题1：星座构型设计

星座构型设计在本章的前面部分中已经进行了详细的讨论，在这里将其作为星座系统设计中的子问题之一。协作优化方法是将状态变量加入设计变量中的，因此设计结构矩阵中输入的系统级设计变量和状态变量也包含在该子问题的设计矢量中，其目标函数按照协作优化方法的要求构造。星座构型设计子问题是整个设计任务中分析和计算负担最重的，也是优化困难程度最大的。

子问题2：航天器设计

星座系统设计主要在于星座构型设计和航天器设计。航天器设计被分解成3个部分，分别是载荷、电源和平台。航天器设计的约束边界一般来自可靠性分析模型，根据整个星座系统规模，由这些约束确定单颗航天器的相关工作性能，包括信噪比等。

子问题3：可靠性设计

这个子问题的主要功能是按照分布式航天器的运行规律，将系统的一些指标（如可靠性、探测概率和虚警概率等）分解到单颗航天器，降低对单颗航天器的性能要求，并根据分布式结构参数确定单颗航天器的成本因子。它是与系统的多个子问题（如航天器设计、成本分析、星座构型设计等）相耦合的一个子问题，因此需要将其单独作为一个设计问题进行处理。

子问题4：运载工具设计

在考虑到各种制约因素的前提下，选择合适的运载工具部署星座，使得星座的发射部署成本最小化，这就是运载工具设计子问题。在该子问题中，设计变量包含了诸如发射成本这样的状态变量。在与系统级进行数据交互时，需要保持各子系统状态的一致性。

优化模型的建立可以分为系统级和子系统级，下面分别介绍。

（1）系统级的优化可表示为

式中， X =（ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）。无论是系统级还是子系统级，其设计矢量都包含所有子问题的状态变量和设计变量。如果某设计变量或状态变量不是本问题所涉及的，那么只需要取传递进来的值即可（差值项始终为0）。按照这个原则进行数据接口定义，在实现上更为方便。 x ′ _{i ， j} ∈ X ′ _i 表示关于子问题 i 的设计变量 j 的最优解。

（2）各子问题的优化可表示为

式中， x _{i ， j} ∈ X _i 表示子问题 i 的设计变量 j ； x ′ _j 表示系统级传给子问题 i 的设计变量 j 的期望值。在协作优化方法中，对各子问题分别进行优化，因此可以根据具体问题的特点（如变量特性和有无约束等）选择合适的优化算法，从而以较高的效率搜索到最优解。表2.7.3.1针对星座协作优化设计中的优化器选择给出了备选方案 ^［3］ 。