2.5　相关数学模型

2.5.1　基本公式

1.两点的球面距离

地球上任意两点的球面距离为

式中，Lat ₁ 和Lat ₂ 分别为两点的地理纬度；ΔLon为两点的地理经度差； R _Ear 为地球半径。

2.球面角

设球面三边形 ABC 的三边分别为 a 、 b 和 c （地球半径为 R _Ear ），根据球面三边形中边的余弦定理，球面角 A 对应的弧度为

式中， a 、 b 和 c 都是标准化后的值，即

3.球面多边形的面积

对于球面三边形 ABC ，设3个内角分别是 α 、 β 和 γ ，地球半径为 R _Ear ，那么该球面三边形面积为

进一步的，设球面 n 边形 A ₁ A ₂ … A _n 的内角分别是 α ₁ 、 α ₂ 、……、 α _n ，那么该球面 n 边形面积为

式中， R _Ear 为地球半径； n ≥2。

2.5.2　轨道参数计算

1.轨道高度和轨道倾角

一般情况下，用户直接指定轨道高度 H _Orb 和轨道倾角 i ，然后根据关系式 a = H _Orb + R _Ear 得到半长轴 a 。对于一些具有特殊特征的轨道类型，它们自身就已经限定了轨道高度 H _Orb 或轨道倾角 i 的数值范围，下面对这些轨道类型分别进行说明。

1）回归轨道

σ 星座的轨道是回归轨道，并且回归轨道轨迹不自相交。因此，如果确定了 σ 星座的回归天数 M ，那么也就确定了相应的回归圈数 L = M +1。进一步的，可计算出轨道周期（一般指交点周期） T _Ω ，并推算出轨道高度 H _Orb 。如果不是 σ 星座，而是考虑一般情况下的回归轨道，那么就需要确定回归天数 M 和回归圈数 L （ M 和 L 为互质数），然后轨道高度可以写成

2）太阳同步轨道

太阳同步轨道的主要特征在于，航天器轨道面的进动角速度与平太阳在赤道上移动的角速度相等。当轨道偏心率 e =0时（即为太阳同步圆轨道时），可得出半长轴 a 和轨道倾角 i 的关系，即

由此可得到轨道高度 H _Orb 和轨道倾角 i 的关系。

由此可见，对于太阳同步轨道，给出轨道高度 H _Orb 可求出轨道倾角 i ，给出轨道倾角 i 可求出轨道高度 H _Orb 。同时，太阳同步轨道的轨道倾角永远大于90°，太阳同步轨道的轨道高度上限为5976km。

3）极地轨道和临界倾角轨道

极地轨道的特点在于，轨道倾角 i =90°。临界倾角轨道的特点在于，轨道倾角 i =63.4°或116.6°。

4）静止轨道

静止轨道的轨道倾角 i =0°，轨道高度 H _Orb =35 786km。

2.升交点赤经

轨道面内航天器的升交点赤经相同，不同轨道面的升交点赤经不同。给定起始升交点赤经 Ω ₀ ，则第 j 个轨道面的升交点赤经 其中，轨道面 j =0，1，…， P -1；第 j 个轨道面内的航天器 x =0，1，…， S -1。

3.近地点幅角和真近地点角

由于相位角 u = ω + θ ，当某轨道面内的第 x 颗航天器通过升交点时，如果东面相邻轨道面内第 x 颗航天器的相位角为 那么就可认为所有轨道面内第 x 颗航天器的真近地点角相等。这时，轨道面内各航天器的真近地点角满足关系 其中，轨道面 j =0，1，…， P -1；第 j 个轨道面内的航天器 x =0，1，…， S -1； θ ₀ 为起始真近地点角。

同时，轨道面的近地点幅角 其中，轨道面 j =0，1，…， P -1；第 j 个轨道面内的航天器 x =0，1，…， S -1； ω ₀ 为起始近地点幅角。同一个轨道面内各航天器的近地点幅角相等。

2.5.3　星下点计算

航天器在外层空间沿着轨道运行，而地球本身也在不停地自转。一般情况下，航天器运行的星下点轨迹不会再重复前一圈运行的星下点轨迹。将航天器通过右升节点的时刻作为度量的零点，则航天器星下点的地理坐标可以由以下方程求解，即

式中，Lon _{Na H} 为航天器星下点的地心经度（单位是“度”）；Lat _{Ha H} 为航天器星下点的地心纬度（单位是“度”）；Lon _AsN 为升节点的地心经度（单位是“度”）； γ 为 t 时刻航天器与升节点之间的角距（单位是“度”）； ω _e 为地球自转角速度（单位是°/s）； t 为飞行时间（单位是s）。

2.5.4　覆盖角计算

一般，我们根据航天器轨道六要素，以及载荷视场角、侧视角、目标点经纬度、航天器最小仰角来判断点目标是否被覆盖。首先利用轨道六要素计算星下点经纬度和航天器高度，然后利用侧视角和载荷视场角计算视场中心点经纬度和覆盖角，最后利用最小仰角和覆盖角判断目标点是否被覆盖。

1.根据侧视角和载荷视场角计算视场中心点经纬度和覆盖角

根据侧视角和载荷视场角计算视场中心点经纬度和覆盖角，需要考虑侧视角是否为零的两种情况。如图2.5.4.1所示，设航天器 S 星下点为 S ′（Lon _{Na H} ，Lat _{Na H} ）。侧视角∠ S ′ SO ′= θ _s 时，视场中心点为 O ′（Lon _VFC ，Lat _VFC ）；侧视角为零时，载荷视场角为∠ NSN ′= θ _v ，视场中心点为星下点 S ′（Lon _{Na H} ，Lat _{Na H} ）。当雷达波束脱离地表时，也无法实现对目标的覆盖，因此可以定义最大侧视视场角为2∠ MSO = θ _m 。当 O ′落在 N 和 N ′之间时，∠ PSN 和∠ P ′ SN ′在轴线 SO 的两侧。当 O ′落在 N 和 N ′之外时， SO ′分成的两个角∠ PSO ′和∠ P ′ SO ′将位于 SO 的同侧。最大覆盖角 β _m =2∠ MOS =2arccos ，最大侧视视场角 θ _m =2arcsin

1）侧视角为零

半覆盖角 视场中心点经度Lon _VFC =Lon _{Na H} ，纬度Lat _VFC =Lat _{Na H} 。若 θ _v ≥ θ _m ，则半覆盖角 ，所以

2）侧视角不为零

设∠ POS = β ₁ = 而∠ P ′ OS = β ₂ =

（1）当分成的两个部分在轴线同侧（即 ＜ θ _s ）时，半覆盖角 β = ，视场中心点的纬度Lat _VFC =Lat _{Na H} ，经度Lon _VFC =Lon _{Na H} +

（2）当分成的两个部分在轴线异侧时，半覆盖角 视场中心点的纬度Lat _VFC =Lat _{Na H} ，经度Lon _VFC =Lon _{Na H} +

2.发现目标时必须满足的条件

设星下点为 S ′（Lon _{Na H} ，Lat _{Na H} ），视场中心点为 O ′（Lon _VFC ，Lat _VFC ），航天器最小仰角为 E _min ，目标点为 T （Lon _Tar ，Lat _Tar ），半覆盖角为 β ，不考虑星下空洞效应，则发现目标时必须满足下面两个条件。

1）最小仰角的条件

对于给定高度的航天器，存在一个最小仰角。航天器若要覆盖某点，则此点相对于航天器的仰角 E 必须不小于 E _min ，如图2.5.4.2所示。

目标点与星下点的角距 d _{S ′ T} 可以写成

设最小仰角为 E _min ，在△ SOA 内由正弦定理有 转化后得 ，从而 所以，目标点要被覆盖，必须有 d _{S ′ T} ＜ d _M 。

2）视场中心点的条件

目标点与视场中心点的角距为

若目标点被覆盖，则有 d _{O ′ T} ≤ β 。 M2Urq+2rZRXmawcbzLCVatRCm2oiCb6M/aIY0XDZMq0rQVXgHPZidPqSMw8dAUHy