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声波在介质中传播时，声压在空间上和时间上都处于不断的变化之中，以数学形式描述声压的变化关系就是波动方程。从物理机制上，声波对介质的作用要满足三个基本定律，即牛顿第二定律，质量守恒定律，以及描述介质压强、温度与体积相互关系的状态方程。
在忽略海水黏滞性和热传导的条件下，运动方程可表示为
式中 u ——质点振动速度矢量；
ρ——密度；
p——声压；
t——时间。
在小振幅波动的假设条件下，忽略d u /dt中的二阶小量（ ∇ . u ） u ，将运动方程简化为
根据质量守恒定律，小振幅波满足连续性方程和状态方程，即
当声速c和密度ρ不随时间变化，将式（3.2）至式（3.4）联立，得
式（3.5）即为不均匀介质的波动方程。引入函数
，可将波动方程简化为
对于简谐波，满足
，则式（3.6）可写为
其中，k为波数，k=ω/c。在海水介质中，与声速相比密度ρ变化很小，可近似为常数，则可将波动方程转化为齐次亥姆霍茨方程的形式，即
或
对于介质中有声源作用，运动方程右侧要添加作用力项，即
同时，波动方程也相应地变化为
波动方程描述声压随时间和地点变化应满足的普遍规律，但还必须结合物理问题应满足的具体条件才能求解。这种条件称为定解条件，主要分为边界条件和辐射条件两种。
边界条件是声压在介质边界上必须满足的条件，主要包括软边界和硬边界两种情况。软边界是指边界上的压力等于零，硬边界是指边界的质点法向振速为零。
（1）对于软边界，若边界是z=0的平面，则边界上各点应满足的边界条件为
若边界为不平整性界面（如海面），且可表示为z=η（x，y，t），则边界条件可表示为
若已知边界上压力满足一定的分布为p s ，则边界条件可表示为
（2）对于硬边界，如果边界是z=0的平面，则边界条件为
若边界为不平整性界面（如海底），且可表示为z=η（x，y），则边界条件可表示为
其中， u x 、 u y 、 u z 分别为质点振动速度在x、y、z方向上的分量。
若已知边界上法向振速分布为 u s ，则边界条件为
（3）若将压力和振速在界面上的边界条件用软边界和硬边界进行线性组合，就得到了混合边界条件，表达式为
如果将海底视为与海水不同的另一种液态介质时，在海底界面上就会出现ρ和c的间断。在该界面的两边都有声压存在，边界上应同时满足压力连续和质点法向振速连续的条件，即
式（3.19）和式（3.20）分别表示边界上压力连续和法向速度连续。若边界上压力不连续，将会出现压力突变、质量加速度趋向无穷的现象；若法向速度不连续，将出现边界上介质真空或介质堆积的现象。
辐射条件是指波动方程在无穷远处所应满足的定解条件。当无穷远处没有声源存在时，声场在无穷远处应该具有扩散波的性质。如果在无穷远处没有定解条件，则波动方程的解将不是唯一的。
（1）对于平面波，设解的形式为达朗贝尔形式，即φ + =f（t-x/c）。在无穷远处应满足的辐射条件为
（2）对于简谐波，解的形式为φ + （x，t）=φ + （x）e jωt 。在无穷远处应满足的辐射条件为
（3）对于圆柱面波和球面波，辐射条件分别为
射线模型对声传播的描述与几何光学相似。射线声学把声波的传播看作是一束无数条垂直于等相位面的射线的传播，每一条射线与等相位面相垂直，称为声线。声线途经的距离代表波传播的路程；声线经历的时间为波传播的时间；声线束所携带的能量为波传播的声能量。
假设波动方程具有的形式解为
式中 A——声压振幅；
k 0 ——参考波数，k 0 =ω/c 0 （其中c 0 为参考点声速）；
k 0 φ（x，y，z）——相位值；
φ（x，y，z）——长度量纲，称为程函。
由于k 0 是常数，当某些坐标点使得以（x，y，z）等于同一数值时，即组成了形式解p的等相位面。一般说来，φ（x，y，z）为常数的等相位面是一曲面；而梯度 ∇ φ（x，y，z）的指向代表声线的方向，它处处与等相位面垂直。
把形式解代入波动方程，得
若式（3.26）中实部和虚部均等于零，则有
式（3.27）和式（3.28）分别为程函方程和强度方程。当满足
时，程函方程可简化为
式中 n（x，y，z）——折射率；
∇ φ（x，y，z）——声线的方向。
根据矢量分析，等相位面φ（x，y，z）在声线方向s上的变化率为
，而声线方向就是等相位面φ的法线方向，因此有
把程函方程代入式（3.31），可得
可以由此方程组来确定声线的方向。
另外，声线的方向余弦可表示为
。将式（3.33）对s求导，得
经过与上面相类似的推导，可导出下列方程组，即
将式（3.35）写成矢量方程的形式为
强度方程式（3.28）可按矢量分析表示为另一种形式，即
式（3.37）的含义是：声强度矢量 I 的散度等于零，即 ∇ . I =0。这说明，射线声学中声强度矢量为一管量场。若把封闭面 S 看成沿着声线管束的侧面和管束两端的横截面 S 1 和 S 2 ，如图3.1所示，由于声线束侧面的法线方向处处与 I 方向相垂直，因此沿侧面的面积分等于零。于是有
图3.1 沿射线管束的声能传播示意图
可见， S 1 的法线与 I 方向相反，而 S 2 的法线与 I 方向相同，在声强沿断面 S 1 和 S 2 均匀分布情况下，式（3.38）可写成
这说明声强度矢量与声线管束横截面积的乘积为一常数，两者成反比。当声能沿声线管束传播时，若横截面积较大，声能分散，声强值减小；若横截面积较小，声能集中，声强值增加；管束内的声能不会通过旁边的侧面向外扩散。
假设单位立体角内的辐射声功率为W，立体角微元dΩ所张的截面积微元为d S ，则声强为
如果声源轴对称发射声波，入射角在（α 0 ，α 0 +dα 0 ）范围内的声线管束立体角dΩ为式中 d S 0 ——单位距离r 0 处立体角dΩ所张微元面积。
当声线到达观察点（r，z）处，dΩ所张的垂直声线的横截面积为
根据声线的轨迹方程r=r（α 0 ，z）可以求出初始角从α 0 增加到（α 0 +dα 0 ）时的水平距离增量dr，即
则
将dΩ和d S 的表达式代入式（3.40），可得
在不计入常数因子情况下，声压振幅可表示为
这样，可由程函φ（r，z）和振幅A（r，z）得到射线模型的声场，即
在程函方程的推导过程中，需要满足的一个重要的前提条件就是
。若仅考虑x方向，则式（3.47）可等效为
式（3.48）表明，射线模型要求在一个波长长度的量级上振幅的相对变化远小于1。而强度方程要求 ∇ . ∇ φ和n. ∇ A/A两项有相同的数量级，即要求在一个波长长度上介质折射率n或声速c的变化很小。
根据以上分析，应用射线模型应满足两个基本条件：一个条件是在波长的量级上声波振幅的相对变化量远小于1，即射线声学只能应用于声波声强没有发生太大变化的波束中心部分，而波束边缘的声强可能会很快地减小。在声线不能达到的影区，声强为零，但实际上由于声衍射，声强不完全为零，这与光波通过小孔或窄缝发生光衍射相类似。根据声强的表达式，当
，声能出现了汇聚作用而使射线声学失效，这些区域称为焦散区。在焦散区附近，声强公式需要进一步修正。另一个条件是在波长的量级上声速的相对变化远小于1，即沿声传播方向不能发生很大的改变（如在声速跃变层附近）。这表明射线模型不能适用于较强的不均匀介质。
可见，射线声学是波动声学在高频条件下的近似。在波长的量级上，波长越短，频率越高，射线声学的应用条件越容易得到满足。而频率上限的取值的大小与声速c和振幅A随距离相对变化的快慢有关。
假设海水为均匀声速结构，声速c=c 0 、水深z=H，海表面为自由平整界面，海底为硬质海底。点声源位于z 0 处，则层中声场应满足亥姆霍茨方程，即
令
，代入式（3.49），经分离变量后得
其中，k 0 =ω/c 0 。令
可将Z n （z）用微分方程的形式表示，即
式（3.52）满足正交归一化条件，即
其中Z n （z）为本征函数，可令
其中，A
n
和B
n
为常数；k
zn
和ξ
n
分别为波数ω/c
0
的垂直分量和水平分量，
=
。
根据海面和海底的边界条件，可得出
其中k zn 称为本征值，Z n （z）可表示为
将正交归一化条件代入式（3.57），可得
则有
将式（3.52）代入式（3.50），可得到函数R n （r）解的表达式为
其中
为第二类零阶汉开尔函数，
，J
0
和N
0
为零阶贝塞尔函数和纽曼函数。
这样，声压可表示为
对于远离点源的范围，可对汉开尔函数作渐近近似，即
式中各项称为简正波的波模，n为波模的阶数，第n阶简正波可表示为
如图3.2所示，给出了前四阶简正波振幅随深度的分布示意图。由图可见，每一阶简正波沿垂直方向作驻波分布，沿水平方向传播。不同阶数的简正波其驻波的分布形式是不同的，层中声场由各阶简正波波模之和的无穷级数来表示。
图3.2 前四阶简正波振幅随深度的分布示意图
根据前文的分析，第n阶简正波的水平波数ξ n 可满足
根据式（3.66），阶数n最大可取的正整数N由下式给出，即
当阶数n＞N时，ξ n 为虚数，对应p n （r，z）的振幅随r成指数衰减，远场中声压可表示成有限项的级数和。因此，N 决定了最高阶简正波的传播频率，称为临界频率，表达式为
当声源激发频率ω＜ω n 时，层中不存在第N阶以上的简正波，因而ω N （f N ）称为第N阶简正波的临界频率。当N=1时，可求得简正波在层中无衰减传播的最低临界频率，称为截止频率，表达式为
当声源频率 f ＜ f 1 时，声压表达式中各项级数都作指数衰减。
