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优秀的数字系统

在人类历史中，数字的故事充满了“无数次” 错失机遇和完全没有必要的拖延。虽然书面数字早在公元前40000年就已经出现，比文字的出现早了几万年，但最初的这些数字只是简单的符木：每标记一次就代表计一次数。它们长这个样子：

对于比较小的数字来说，这些符木已经够用了，但是，一旦数字变大，且还需要用符木来计数的话，你就会变得非常痛苦。快，告诉我下面这幅图表示的是数字几？

答案是：“这不重要，因为没人有时间坐在这里慢慢地数。算了吧， 我们正忙着在这个过去的时间点再造文明呢。 ”这就是为什么符木计数是一种一种“糟糕的数字系统”。纵观历史，还有许多同样糟糕的数字系统，不过，我们在此就不把时间浪费在这些东西上了。让我们直接跳到结论：你的文明所使用的数字系统需要满足以下几点：第一，使用印度或阿拉伯数字；第二，使用位值系统；第三，使用十进制。

下面就是这三种系统的含义以及为什么它们如此优秀！

印度/阿拉伯数字。 其实就是你熟悉的那些数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。如果你愿意，你也可以用其他符号重新表示这10个数字：它们的样子本来也都是随意选取的。而且，由于现在是你发明了这些数字，而不是印度人或者阿拉伯人，所以你可以称它们为“……（你的名字）数字”。

使用位值系统。 在位值系统中，数字的值由每个数位上的数字及数位代表的值共同确定。举个例子，4 023表示的是“4个千、0个百、2个十和3个一”。这听上去非常耳熟，因为位值系统是你从小就熟知的数字系统。由于用位值系统表示数字时规则清晰、效率极高且灵活便利，所以大家都用它。

使用十进制。 我们现在使用的位值系统是十进制。这就是说，在一个数字中，相邻两个数位的值相差10倍。从左往右看，数位的值依次是前一位的1/10；从右往左看，数位的值依次是前一位的10倍。仍旧以4 023为例：

有趣的是，你可以创立以任意值为基础的位值系统！十进制是人类历史和文化中最常用的进制（很可能是因为大部分人都拥有10根手指），但它绝不是唯一可以使用的进制系统。巴比伦人使用六十进制（直到今天，我们还是会在某些地方使用这种进制，比如每小时60分钟，每个圆有360度等，参见第4章），而计算机语言则使用二进制。在二进制中，相邻数位之间只差2倍，而不是10倍：

所以，二进制中的1 011就等于8+2+1，也就是11。由此可知，数位顺序相同的一串数在不同进制中表达的数字不同。如果我们没说这里的“1 011”是二进制数，那么你很可能会把它理解成一个十进制数，那它代表的就是“一千零一十一”。如果你认为它是一个五进制数，那它表示的就是十进制中的131；如果你认为它是一个七进制数，那它表示的就是十进制中的351；如果你认为它是一个三十一进制数，那它表示的就是十进制中的29 823。我们在其他时间线做过尝试，结果表明，用这样奇怪的三十一进制建立数字系统可不是什么好主意，不过，鉴于你现在被困在过去，你要真这么做， 也没有人可以拦着你 。

虽然我们可以利用现有的位值系统和进制指导我们写下数字，但有个令人悲伤的事实不得不提：数字系统接下来的发展，也就是我们现在习以为常的那些特征，花了人类整整4万年时间。实际上，其中的大部分时间都被人类用来发明分数了，而且分数这个概念现在看来非常基础，我们甚至可以直接将之教给婴孩。为了避免重蹈浪费时间的覆辙，我们制作了下面这张表，其中写明了你的数字系统中应该出现的所有特征。实际上，这应该是有史以来 最节省时间的数字系统发明表了 。

看完这些概念了吗？我们把它们整合到了这张简单的表中，你只要花几分钟就能读完。你可以在某个下午把所有这些数字概念教授给你那条时间线上的人，他们就不用在连零是什么都不知道的世界里跌跌撞撞上万年了。这可省下了大把的时间。 不客气 。

至于你可以用这个数字系统做其他什么事，就都由你自己决定了。这本指南中到处散落着人类花费大量时间才探索出来的、很有用的数学方程，不过，在此要提醒你一个最深邃、最黑暗的数学秘密：无论你选择何种方式，你都可以创立数学的根基。

也许，你听到这个会感觉很惊讶，但是，数学的基础实际上就是一些我们无法证明只能假设为真的原理。我们称这些原理为“公理”，且我们假设它们是正确的，但截至本书成书为止，它们仍旧是我们无法证明的“信仰”。这些公理包括“2+1和1+2得出的结果相同”“若a等于b，b等于c，则a等于c”。这些假设确实有用，因为它们完全符合现实。而历史已经证明，把数学建立在符合现实的基础之上是合理的、可行的，但你也可以建立一个完全不同的数学体系。虽然我们的确推荐先建立一个符合实际的数学系统，但是细想一下，在一个a+b不等于b+a的宇宙中，乘法该怎么运算，也是一件相当有趣的事儿。

现在，你已经发明了优秀的数字系统以及在此基础上产生的数学基础，你也一定解锁了一些特权。很明显，数字可以让你精确地量化周遭的世界，而这正是小到食谱、大到科学的万事万物的基础。人们可以通过数字管理、理解和交换物质资源（如绵羊或者树木）以及抽象资源（如金钱、名声以及 时间本身 ）。数字最普遍的功能则是充当一种分类标签：某本书的第123页必然在第122页和第124页之间，如果你还知道这本书总共有多少页，那么你便很清楚第123页究竟在哪儿。一套有序的数字提供的社会环境，会在未来的某一时刻对一个文明的成员产生巨大帮助。无论他们是用这些数字来标记一天中的小时数、一年中的天数，还是一条街上的楼幢数、一幢楼中的楼层数，都会非常有用。这些数字还可以用来标记温度、无线电波的频率、维生素。如果你的这个文明 足够 幸运的话，也许在未来的某一天，还能用这些数字来标记那些建立在不相干的时间或空间参考系上的不稳定的爱因斯坦–罗森桥的强度。