连点找多边形
——幸福结局问题

让我们从一个实验开始本小节主题。请你在一张纸上任意画5个点，仅要求其中不要有3点共线。请你尝试在这5个点里找4个点连接起来，目标是构成一个凸四边形。

可以尝试在纸上多画几组，你会很快发现，不管怎么画这5个点，似乎总能找出4个点来构成凸四边形。但是很显然，只有4个点的话，不一定能构成凸四边形。如果让你尝试画5个点，其中不存在某4个点的连线可以构成凸四边形，你会发现怎么都做不到。

现在问题是能否证明按如此条件构成凸四边形，是否至少就需要5个点呢？是否存在某种5个点的位置不能构成凸四边形的情况呢？如果要构成凸五边形，又至少需要多少个点呢？凸六边形又如何呢？通常来说，平面上至少需要多少个点来构成凸n边形的问题，就是所谓“幸福结局问题”。

但这跟“幸福结局”有什么关系呢？因为这与一个过程曲折但结局完美的故事有关。大约在1933年，匈牙利首都布达佩斯有一群爱好数学的年轻人，他们经常聚在一起讨论数学问题。其中最为活跃的有三个人：一个女孩子名叫埃丝特·克莱因，当时23岁；比她小一岁的男生乔治·塞凯赖什；还有一个当时20岁的，后来大名鼎鼎的保罗·埃尔德什。

有一天，埃丝特·克莱因拿了一个问题去挑战她的这两个朋友，请他们证明前面提过的例子，是否平面上有5个点，就必然能在其中找到4个点，构成一个凸四边形。没过多久，塞凯赖什和埃尔德什就证明了这一问题。而且两年后，他们两人还证明了，对任何一个凸n边形，只需要最多 +1个点，肯定就能从其中找到n个点，构成一个凸n边形。这个定理就被称为“埃尔德什 - 塞凯赖什定理”。

而让人羡慕的是，塞凯赖什和克莱因在一起研究这个问题的过程中，坠入爱河，最后喜结连理。你看这是不是一个幸福结局呢？所以后来爱开玩笑的埃尔德什就说，这个问题干脆就叫“幸福结局问题”好了。

塞凯赖什夫妇跟中国还有点缘分。他们1937年在匈牙利结婚，两年后“二战”爆发，因为两人都是犹太人，不得不开始逃亡，他们选择逃到了上海，并在上海定居下来。在“二战”期间，上海接收过四万多犹太难民，其中就有这两位数学家。他们在上海居住了9年，第一个孩子也出生在上海，后于1948年移居澳大利亚，并一直生活在那里。更为神奇的是两位数学家都很长寿，活了90多岁，直到2005年，二人在1个小时内相继去世。所以他们的人生绝对称得上是幸福结局。

再顺便说说给这个问题起名为“幸福结局”的埃尔德什，他在数学界更为著名。其最为出名的成就就是多产，一生发表过1500篇论文，且他喜欢与众多数学家合作发表论文。以至于数学界有这样一个非正式学术指标，叫“厄多斯数”，“厄多斯”就是埃尔德什的另一种中文译音，意思是说如果你跟埃尔德什合作发表过论文，那你的厄多斯数就是1。如果你跟厄多斯数为1的人合作发表过论文，那你的厄多斯数就是2，以此类推。当然，厄多斯数越小，在某种程度上说明你的数学水平或者地位越高。现在埃尔德什已经去世，所以各位想成为厄多斯数为1，已经不可能了。各位可以赶紧找找身边有没有厄多斯数的人，你跟他一起发表篇论文，那你就有厄多斯数了。

前面已经说过塞凯赖什和埃尔德什证明了无论几边形，需要的点数总有一个上限的。但数学家就想找到一个准确的数。

埃尔德什和塞凯赖什自己就证明了凸五边形需要9个点。而三角形很明显只要3个点，凸四边形需要5个点。埃尔德什和塞凯赖什根据已知情况猜想，对n边形，需要：

1+2 ^n-2

个点。以此类推，那凸六边形，就需要17个点等。但即使有了猜想，凸六边形的情况时隔70年，直到2005才被证明，而且还是借助计算机证明的。但对于凸七边形，需要的点数就达到33个，计算机也无能为力。所以对一般情况的处理，数学家只能通过缩小上界的方法，慢慢逼近下限。

1935年，埃尔德什和塞凯赖什证明了上界的存在性，为 +1，下界就是1+2 ^n-2 。而他们认为下界就是所需的最少点数。让我们来看看n=4时的命题证明框架：

如下图，假设在平面上已有5点，并且任意3点不共线。取其中3点构成一个三角形。余下两个点记作 A 、 B ，连接 AB 得到一条直线，如点 A 、 B 都在三角形内，则直线 AB 必交三角形两边，将三角形分为两部分，其中一部分是三角形，另一部分是四边形。在四边形的那一部分，连接 BC 、 AD ，则必可得到一个凸四边形：

如果连接三点构成三角形后，余下两点不全在这个三角形内，则至少有一个点在三角形外，记作 D 。连接原先三角形的3个点和 D ，则也必可得到一个凸四边形：

别看n=4的情况如此“简单”，对n等于任意数的证明却异常困难。据埃尔德什和塞凯赖什说，n=5，f(5)=9的情况，是1935年一个叫E·马凯的人证明的。

n=6，f(6)=17的结果是塞凯赖什（成果发表时已去世）和林赛·彼得斯于2006年证明的。

最新成果是安德鲁·苏克在2016年声称自己证明了上界是f(N)≤ 这个结果与最终正确答案只差一步之遥，但还需要验证。

另外值得一提的是，这个幸福结局问题是“拉姆齐理论”的第一个重要的应用。拉姆齐理论是处理这种类似问题的理论——最少需要几个人，使得其中有3个人互相认识或者互相不认识？拉姆齐在20世纪30年代证明这个结果是6个人。但是直到现在，如果问至少需要几个人，使得其中5个人互相认识或者互相不认识，答案是——数学家还不知道！只知道是需要43~48个人。所以拉姆齐理论也是看上去简单，却是数学家解决不了的问题。

幸福结局问题有一个扩展，叫“空心幸福结局问题”。它比幸福结局问题多一个要求：构成的凸多边形中不含其他点。目前已知空心幸福结局问题，构成四边形仍然只需5个点，五边形则需10个点。

你可能感觉在空心幸福结局问题中，只要点数多一点就可以了，但是约瑟夫·霍顿在1983年证明，当点数足够多时，可以做到，无论你怎么找，都不能找到空心凸七边形。但是长期以来，有关六边形的空心幸福结局问题的情况不清楚。在2007年和2008年时，有人证明，只要点数足够多，就会有空心凸六边形了，但到29个点时有反例。至于上限，目前知道的是129个点以上都成立。所以问题的答案在29到129之间，具体是哪个数仍未可知。

思考题

大老李陪你一起“玩”

1.请思考一下为什么幸福结局问题那么难？平面上有17个点，可以连线构成多少个六边形（凹凸不论）？

2.如果平面上有1+2 ^n-2 个点，可以从中构造多少个n边形？ bKqiyrgDwy45XQHuceqH5k3UgciCb8LalKlHAdny7zDYeMgBumDEWKIs8eRIn6sx