移动沙发问题

你有没有这样的经历：你在狭小的通道里移动一个沙发，到一个转弯处卡住了，不管如何调整都挪不过去了。此时你唯一指望的就是房间够高，再来几个力气大的人帮你把沙发竖起来移动。如果房间不够高，那就只能沮丧地把沙发挪回去了。

“无聊”的数学家们由此提出一个问题，现有一个宽度为1的走廊，且这个走廊有一个向右的直角转弯。问：在这样的走廊里，可以通过的最大俯视面积的沙发有多大？

看到此题我的第一反应是——怎么看都像小学生最多是初中生的智力题嘛。但这个问题在1966年就被提出了，至今仍未解决！

这里要先对题目说明几点：第一点这个问题考虑的是二维平面上的状态，走廊高度是不考虑的。你不用考虑把沙发抬起来之类的动作，可以把沙发底部想象成装满轮子，只能平移，则这个问题问的是沙发的最大的俯视面积。

第二点是走廊的长度与结果无关，可以认为走廊不论直角转弯之前或之后，都有无限长的空间。我们稍后会看到走廊的长度对能够转弯移动过去的沙发大小是没有贡献的。

第三点是数学家给能通过这个直角转弯的最大沙发的面积数值起了一个名字——“沙发常数”（Sofa Constant），估计数学家也对搬动沙发这件事深感苦恼。

问题定义好了，我们来看看这个沙发常数到底会在什么范围。一方面，肯定有一些形状是可以通过这个转弯的，即这个沙发常数肯定有下界。另一方面，也不可能任意大的物体都能过弯。

略微思考，你就会发现能通过这个直角转弯的最长的一条线段的长度是 ，即边长为2的正方形的对角线。比这个长度再长哪怕一点，哪怕只是一根很细很细的棍子，也是没法过弯了，相信大家在家搬动东西都有这种在转弯处被卡住的经历。这一点也告诉我们沙发上任意两点间的最大距离不能超过 。

你可能马上会想那我给出一个边长为1、对角线长度为 的矩形，这个形状能过弯吗？你稍微想一下就能发现这个形状是过不了弯的，因为一旦有两点距离是 ，那么它就不能有宽度，此处我们只考虑直线线段的情况，如果考虑曲线的话，则可以更长，目前只知道下限为2（1+ ），但这是另一个问题了。

那好，现在我们知道沙发常数必有下界和上界了，你可能开始跃跃欲试，试图找出一个最大的能够过弯的形状。

首先，一个1×1的正方形肯定可以，但它的面积只有1。你很快能想到半径为1的半圆肯定也能过弯，它的面积是π/2，约等于1.57，这比前一个结果好多了。而且综合正方形过弯和半圆过弯的情况，你会发现正方形过弯是一个纯粹平移的过程，而半圆过弯是一个纯粹旋转的过程，因为半圆过直角弯时，其实就是把直角弯的内角顶住圆心，然后整个半圆旋转90度，就可以继续平移了。

所以出现一个自然的思路：能否既利用平移也利用旋转来过弯呢？还真有人想出了这个办法，1968年，英国数学家约翰·哈默斯利设计了以其名字命名的“哈默斯利沙发”，沙发的形状像一个拱桥，拱桥的桥拱是一个半径为1的直角扇形，桥面的部分则是一个1×(4/π)的矩形切掉一个半径为2/π的半圆。两个直角扇形面积之和是π/2，再加上面积为4/π的矩形减去一个面积为2/π的半圆，所以整个形状的大小就是π/2+2/π，约等于2.2074，这就比前面的面积为1.57的沙发好多了。

π/2+2/π这个数字也是蛮有意思的，看似生造的无理数居然有了特定的意义。但是这个纪录没保持多久，1992年，一个叫约瑟夫·哥维尔的美国人就发现了一个更大的形状，被称为“哥维尔沙发”。这个沙发的形状看上去跟哈默斯利沙发很像，但它的边界实际上是由18条特定的曲线围成的。听上去有点复杂，但其实它是左右对称的，所以每侧是10条曲线（左右共享了两条曲线的一半），而这10条曲线与哈默斯利沙发的边缘形状非常接近，只是对原先的直线和弧线部分做了微小的改动。

哥维尔发现这个沙发过弯用的方法是所谓的“局部优化法”，听起来好像很神秘，但其实我们平时搬沙发过弯的时候经常用的就是“局部优化法”。当你发现沙发卡住的时候，你会怎么做？你肯定先会看看哪里卡住了，然后再看看哪里还有转圜的余地，是考虑旋转呢，还是平移，卡住的部位是不是可以挪动一下，甚至可以用弹性暂时把体积压缩一点，设法通过这个卡点之后再继续搬动。你看，这不就是“局部优化”吗，你只是针对局部进行调整而已。

也正因为只是进行“局部优化”，所以哥维尔的结果会跟哈默斯利的很像。但这个沙发过弯的局部优化推导过程可一点都不简单，涉及很多繁复的计算。

哥维尔沙发的大小约是2.2195，比哈默斯利沙发只大了0.01多一点。哥维尔认为他的沙发应该是最优化了，但无法证明他的沙发面积就是最大值。

你可能会说，既然是局部优化，那对哥维尔沙发本身再进一步优化可不可以？比如，把它的任何一小段曲线再分成更多段，能否得到更好的结果？我的答案是：行，但是你要证明！

前面说了哥维尔经历了十分复杂的计算步骤才完成。一方面，如果你要进一步对他的沙发优化，那计算步骤只多不少。另一方面，局部优化永远是局部的，你对哈默斯利沙发的改进只能是很微小的。

实际上有人做过更多计算，发现针对哥维尔沙发的局部优化设计很可能是最佳结果。继续优化也许可以提高，但是提高的幅度几乎可以忽略不计。所以，目前数学家着眼于用其他的方法，试图从全局角度找到最大的沙发形状，或者哥维尔沙发已经是最优结果。因此目前沙发常数的最佳结果仍旧停留在1992年哥维尔计算出的2.2195。

这个移动沙发问题有好多种扩展。刚才说的沙发是通过一个向右转的走廊，现在要求沙发既能通过右转又能通过向左转的走廊，这个沙发可以有多大？可以想象这个沙发要比前面那个小一点了，目前这个问题的最佳结果是一个被称为“左右二心”的沙发，就是像两个心形连接起来的沙发，其面积公式相当令人惊奇：

另外一种扩展就是向三维扩展，比如这个走廊先是向右转，然后又开始垂直向上，问能通过这个走廊的沙发的体积最大可以是多少？这个问题就完全超出我的脑力所及范围了，大家有兴趣可以上网搜搜看这个三维沙发长什么样，提前可以告诉你，这个三维沙发的二维投影还是很像哈默斯利沙发的。

说到这里，大家有没有觉得“移动沙发问题”与“挂谷宗一问题”有点像？1917年，日本数学家挂谷宗一提出了这么一个问题：长度为1的线段在平面上做刚体移动（转动和平移），转过180°后回到原位置，扫过的最小面积是多少？我刚看到这个问题时就觉得很有意思，结果更是让人吃惊，答案是：可以任意的小，因而没有最小值。这个问题有点像问一个沙发要转个方向，问最小需要多大面积。

“移动沙发问题”比“挂谷综一问题”有意思的是，我们确定这个答案是有一个确切值的。目前最好的答案是2.2195，而且我们知道它不能大于 ，即一条边为1的矩形面积，约等于2.6458。“移动沙发问题”要比“挂谷宗一问题”难得多，因为在这个问题中我们要证明某个结果是最大值。虽然我们可以一次又一次找出更大的沙发面积，但只要不能证明是最大值，那这个问题就不能算解决。而这个问题又十分开放，约束条件非常少，只要求能过一个直角弯。如果加入一些约束条件，比如问能过弯的最大的矩形、圆形、三角形的面积等，这些问题都有了解答。这跟很多数学问题一样，约束条件少，要考虑的可能性太多，往往使问题变得非常困难。

最后，还有几个类似的未解决的问题，比如“莫斯蠕虫”问题和“移动钢琴”问题等，可以作为大家的延伸阅读，前提是你对这些问题“兴趣盎然”。

思考题

大老李陪你一起“玩”

1.如果限定沙发的形状是矩形，则最大的能过直角弯的沙发面积是多少？

2.对“挂谷宗一问题”延伸一下：一个边长为1的正方形，在平面上作刚体移动，转过90°回到原来位置，扫过的最小面积是多少？ NsyP3L8ubTFShgRcpbOswpmXVUI5U/mlrF2Z9ZaWPSIJoRNOj2r39eOEzJvwNQzF