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前言

边玩边学
学习老师没教的好玩的数学

大家好,我是“大老李”。我在“喜马拉雅FM”发布第一条声音时,万万没想到居然还能以书面形式跟大家“玩”数学。原本想继续用“聊”数学这个标题,但是编辑劝我用了“玩”这个字。起初我还有点犹豫,怕自己写的东西不好玩。但后来我想到英语里“玩”就是“play”,“play”这个词又可以用在诸如足球、乐器这些文体活动上,而对我来说,数学就像是一种文体爱好,所以用“玩”是再恰当不过了。很多人心目中的数学与“玩”联系不起来,他们想到数学多是先想到一些枯燥的公式和习题。我从小数学成绩就比较好,经常有人问我是怎么学数学的,学得不累吗?我那时就有点不知如何作答,因为确实是不累啊。

首先,数学是不用“背”的学科。小时候,我尤其讨厌那些需要大量时间背诵的科目,而数学从来没有让我感觉有“背”的需要,除了“九九乘法表”和初中学习三角函数时期的“积化和差/和差化积”公式是需要下点功夫“背”的。但前者在小学低年级就可以背熟了,因为那时是把“九九乘法表”当成儿歌背诵的,完全不觉得痛苦。后者确实需要花点时间背诵,但是这些公式之间是有相似性的,因此是有记忆技巧的。我的一个诀窍是,在考试开始时就把这些公式全部默写在草稿纸上,这样在后续的考试时间里我就不用担心了,因为我等于是把“参考书”默写出来了。而随着学习的深入,当这些公式不再是考试内容时,我又不用“背”了。

总之,数学从来没有让我感觉有记忆上的痛苦。上数学课的时候,我似乎不是在学,而是等老师“帮”我把一些“顺理成章”的道理从大脑里“挖掘”出来。我心里经常出现的声音是:“啊,就应该这样”,“对,如果是我也会这样做”。如果你也有这种感觉,那你学数学是绝对不会感到累的。

其次,数学不但没有背诵压力,学起来轻松,而且确实是一门可以“玩”起来的学科。比如,在学习圆面积公式的证明时,我确确实实是找来一张纸,照着课本上的形状完整地剪了一遍。

小学课本上的圆面积公式“证明”过程,你还记得吗?

在数学考试时,我尤其喜欢做“应用题”,因为对于我来说应用题就像是一道道谜题,解出来会特别有成就感。所以我在本书中,也很喜欢用应用题来说明问题,比如“三人分蛋糕”问题。

可惜的是,随着数学考试难度的提高,出题人在试卷中提出合适的应用题就越来越难。所以在中学之后的数学考试里,应用题也越来越少,倒是需要去物理试卷里找数学应用题了。不过物理试卷中的应用题,从计算手榴弹飞出的距离到计算卫星的公转周期,这些不也是证明了数学很好玩吗?

最后,学数学不但好玩,而且零成本!要知道现在很多兴趣爱好都很浪费钱财,俗语云:“玩××穷三代”,但是“玩数学零负担”!对数学爱好者来说,一支笔一张纸就足够了。如果你会一点编程的技能,则更是锦上添花。这么省钱又易操作的爱好,何乐而不为?

读到这里,你可能会说:数学,我“玩”不出乐趣啊!那这就是你需要看这本书的理由了,数学里面有很多好玩的内容是老师不教的,但这不能怪老师,因为他们毕竟要以应付各类考试为主,而这本书所要讲的更多是一种数学思维。

市面上的数学科普书,除去仅供中小学生看的那种“教辅”和“竞赛”方向的,大概分两种:一种是偏向“历史”的,比如论述某个问题的来龙去脉或某个定理前赴后继的证明过程;另一种是偏向“技术”的,就是针对某一具体数学分支(比如概率、几何、函数等)中的问题的深度剖析。

前者读起来是很有趣味的,可惜对具体的技术问题着墨不多,即使看过也很难对问题本身有深入的理解。当然,这主要是因为那些问题确实是数学里非常高深的问题,比如费马大定理、黎曼假设等。这些问题很难用浅显的语言让一般爱好者感受到问题本身的乐趣。而“技术”方向的科普书,往往又太过偏重“应试”,趣味性不足,让人难以坚持下去。

我写这本《老师没教的数学》,则是希望在以上两种数学科普书中,找到一个折中点。一方面,尽量保持趣味性,多出一些大家喜闻乐见的“应用题”;另一方面,对于有深度和难度的问题,多方发掘它们所有的背景资料,找出有意思的方面介绍出来,使得有兴趣的读者可以有深入阅读的愿望,并方便他们找到可自行研究的入口。

在每一节的最后,我也出一些所谓的“思考题”。这些题与每一节的主题是有所关联的,而且部分题目的答案是开放性的,我也不知道具体答案,是可供读者继续思考和“玩”的题。欢迎你关注我的微信公众号(dalaoli_shuxue),或者发送电子邮件(dalaoliliaoshuxue@gmail.com)跟我聊聊你对这些题的感想,也希望你喜欢这些题。总之,如果你能在这些题中找到“玩”的感觉,那么我的目的就达到了。

这本书中的很多话题也许是你在其他书籍或网络文章中看到过的,但我可以确保你从本书中了解到的是有关此问题的(成书时)最新研究成果,绝不是老生常谈或浅尝辄止。另外,我也尽量配一些有意思的图片来帮助你理解问题。

有种说法是:“数学书中每增加一个公式,图书销量就会减少一半”,本书仍不可避免地会有些公式。但书中的绝大多数公式是中学生能看懂的,而且针对每个公式我也尽量配合具体文字进行说明,让你看得不累,最终使你能欣赏公式之美,喜欢公式,甚至能够“玩”公式。

最后,我要感谢电子工业出版社,使得本书得以出版。感谢互联网上无偿分享、为我提供众多写作素材的网站和博主,特别是:维基百科,Numberphile@YouTube,mathworld.wolfram.com,quantamagazine.org和John D.Cook。

还要感谢我的太太为我绘制了书中的所有插图。因本书属于科普性质,具体数学问题的描述难免有不精当之处,万望读者指正并谅解。

希望你在数学大海中“玩”得开心! UlzPAkv//O+7op4s4x2YgtQtsPBUKhI6rFK1vK9BXiJE7YwB1en/I59H2jnhkSg+

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