下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
前面我们将一阶二叉树模型扩展为多阶二叉树模型，并以模型与 Delta 对冲的关系为中心进行了分析，现在我们研究二叉树模型的特征，并对二叉树模型和B-S模型之间的关系进行探讨。
二叉树模型的核心在于，假定我们知道从一个阶段到下一个阶段标的资产的变化率（上涨比例或下跌比例）。大部分二叉树模型会假定标的资产的变化率在每个时点都相同。虽然不进行这样的假定二叉树模型也依然有效，但为了计算方便，我们依然假设变化率在每个时点都相同。另外，还会加入（1+ P U ）×（1 -P D ）=1 这样的假设。重要的是，只需满足 0 ＜ 1 -P D ＜ 1+ r＜ 1+ P U 这个不等式。核心假设是我们知道下一阶段的基础资产价格，其余的假设不过是为了计算方便附加的。这里再一次回顾前面所提到的一阶二叉树模型的合理价格公式。
由上面的公式我们发现，在公式中并没有体现上涨和下跌的概率。上涨（或下跌）的概率不体现在公式中，意味着期权的合理价格与上涨（或下跌）的概率完全无关。在极端情况下，如果上涨概率为99.999%，下跌概率为0.001%，那么上面的公式依然成立。这在直观上可能比较难以理解和接受，但根据“天下没有免费的午餐”这个极其普通的原理所求的期权合理价格确实与标的资产的上涨（或下跌）的概率无关，仅依赖于上涨（或下跌）的幅度。从交易的角度来说，当标的资产价格上涨概率达到99.999%时，显然会判断价格上升。但通过Delta对冲方法将合理价格和市场价格的偏差转化为收益的交易时，即便只有 0.001%的概率上涨（或下跌），想要获得独立于标的资产上涨或下跌的收益也必须进行Delta对冲。
二叉树模型和B-S期权定价模型最大的差异在于二叉树模型由非连续的时点组成，而B-S期权定价模型是连续的。二叉树模型的每个阶段都由一定的时间间隔组成，而B-S期权定价模型的每个阶段都由无限小的时间间隔组成。因此，我们可以视B-S期权定价模型为将这些阶段细密分段的模型。
在提到B-S期权定价模型时，会讲到标的资产价格服从几何布朗运动这样难以理解的概念，或者会说标的资产服从指数正态分布。其实这些都是为了更“数学化”地表示二叉树模型时为计算便利加入的“（1+上涨比例）×（1-下跌比例）=1”的假设。二叉树模型的所有时点的上涨比例和下跌比例相同会让计算变得更加简单。B-S 期权定价模型同样也接受了该假设，只是时间间隔变为无限小。其实，B-S 期权定价模型只是将二叉树模型的时间间隔无限缩短而已。因此，B-S 期权定价模型也会存在和二叉树模型同样的问题。
很多人见到上面的公式可能会感到厌烦。其实，我们不需要背下公式，也不需要推导过程，只要理解公式的含义就行。我们要知道影响期权合理价格的变量，以及各变量的影响程度，从而为提高交易效率提供帮助。市面上的期权交易软件都会有求期权合理价格的界面。有趣的是，不少交易软件会同时提供二叉树模型和 B-S期权定价模型的合理价格，其实B-S期权定价模型表示的就是无限缩短二叉树模型时间间隔的合理价格，所以，只要有B-S期权定价模型的合理价格就已经很充分了。
在B-S期权定价模型中，所用到的变量有标的资产价格、行权价、到期时间、利率、波动率，其中，最重要的变量就是波动率。由于B-S期权定价模型是将二叉树模型的间隔无限缩短的模型，因此二叉树模型也像B-S期权定价模型一样具有波动率。前面所讨论的二叉树模型中提到了标的资产价格、行权价、到期时间、利率，但未提及波动率，其实仔细观察就会发现波动率隐藏在其中。
二叉树模型的波动率隐含在上涨比例和下跌比例中，标的资产的上涨和下跌幅度就相当于波动率。标的资产在下个阶段变动±10%和变动±1%相比，显然前者的波动率要高于后者。B-S 期权定价模型以各个时点上涨比例和下跌比例相同（上涨比例和下跌比例可以不同，但在不同时点这个比例都不变）为前提，这个假设和简单的二叉树模型的假设相同。每个阶段、每个时点上涨比例和下跌比例相同的二叉树模型就等于假设波动率在每个时点相同。
二叉树模型里每个时点的波动率相同，是上涨（或下跌）比例相同的简单模型。把这些简单模型的时间间隔无限缩短后就成了 B-S 期权定价模型。因此，B-S 期权定价模型是波动率在每个阶段、每个时点都恒定的模型，故无法给不同时点输入不同波动率来获得合理价格。
在这一点上，二叉树模型与B-S期权定价模型不同。二叉树模型拥有可以在每个阶段设置不同波动率的优点，或者可以用于B-S期权定价模型无法求出的特殊期权价格的计算。一般期权到期时只依赖于标的资产到期价格，而特殊期权很多时候也依赖于到到期日的标的资产价格路径，这种期权的价格无法用B-S期权定价模型求得。目前，二叉树模型已不再单纯作为理解期权的“引路人”，而是被越来越多地应用于计算特殊期权的合理价格。