下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
工程实际中存在很多的平板结构，如桥面、箱形梁的板件等，其厚度
t
比它的长度和宽度尺寸
l
都小得多。当
时，可认为是薄板，否则为厚板。板厚度中点所在的平面称为中面，当板承受垂直于中面的横向载荷作用时，中面会变为曲面。如图7-1所示，以未变形的中面为
xoy
平面建立坐标系，中面各点沿
z
轴的位移
w
称为挠度。
对于薄板小挠度问题，板的变形符合克希霍夫假设：
（1）直法线假设，即薄板中面法线变形后仍保持为法线。
图7-1 薄板弯曲
（2）沿板厚度方向的应变可忽略不计。
（3）薄板中面内的各点只发生弯曲变形，没有平行于中面的位移。
根据假设（2）知
ε
z
=
=0，挠度
w
与
z
无关，仅为
x
、
y
的函数，即
w
=
w
（
x
，
y
）。根据假设（1）得
γ
xz
=
γ
yz
=0，即
由于 w 与 z 无关，于是
式中， f 1 （ x ， y ）和 f 2 （ x ， y ）是 x 、 y 的任意函数。再根据假设（3）有 f 1 （ x ， y ）= f 2 （ x ， y ）=0，于是有
根据几何方程，薄板上点的应变为
可见，各应变分量在中面上为零，而沿板厚方向与 z 坐标成正比例关系。
薄板应力 σ z 可以忽略，于是薄板上点的应力为
式中， D 为弹性矩阵，与平面应力问题中的弹性矩阵完全相同，即
可见，薄板处于平面应力状态，各应力分量在中面上为零，而沿板厚方向与 z 坐标成正比例关系。
在薄板上取如图 7-2 所示的微元体，则微元体各个面上的正应力的合力矩为截面的弯矩，与中面平行的剪切应力的合力矩为扭矩，与中面垂直的剪切应力的合力为剪力。设 M x 、 M y 和 M xy 分别是单位宽度上的内力矩， q x 、 q y 分别是单位宽度上的剪力， τ = [ τ yz τ xz ] T ，于是薄板的内力矩矩阵和剪力矩阵为
图7-2 薄板内力
体积域为 V 的板上的变形能为
将式（7-1）、式（7-2）代入式（7-4），可得
由前文可知，薄板小挠度弯曲时，同一法线上各点挠度 w 是相同的，所以分析只取中面研究、用平面单元离散中面即可。
1.位移函数
如图 7-3 所示为 4 节点矩形薄板单元，单元上任意一点处有 3 个位移分量，即挠度 w 、绕 x 、 y 轴的转角 θ x 、 θ y 。规定挠度 w 正向沿 z 轴的正向，转角 θ x 、 θ y 绕 x 、 y 轴符合右手螺旋为正。与梁的小挠度弯曲类似，薄板的转角也是挠度的导数。如果用矩阵表示节点 i 的 3 个位移分量，则有
图7-3 4节点矩形薄板单元
该单元有四个节点 i 、 j 、 m 、 n ，每个节点有3个自由度，单元共有12个自由度。设单元节点位移为
取单元位移函数为
简写为矩阵形式
式中，系数矩阵 A =[ α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 α 8 α 9 α 10 α 11 α 12 ] T
函数矩阵 F （ x ， y ）=[1 x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 3 y xy 3 ]
将式（7-5）对 x 、 y 分别求导数，即可得到转角的表达式
将节点 i 、 j 、 m 、 n 的坐标和位移代入式（7-5）和式（7-6），求出待定系数 α 1 、 α 2 、…、 α 12 并回代式（7-5），可得插值型位移函数
式中，形函数矩阵 N =[ N i N j N m N n ]， N i 为1×3矩阵，其显式为
位移函数式（7-5a）前 3 项为常数项和一次项，反映出单元沿 z 轴方向移动，以及绕 y 、 x 轴的刚性转动。对3个二次项求两次偏导数后得到应变的常量比例系数（即曲率），反映了常量应变。所以，该单元的位移函数满足完备性要求。位移函数包括三次完全多项式，而四次项是不完全的，所以位移函数有三阶精度。
2.单元刚度矩阵
将式（7-7）代入式（7-1），得单元的应变为
式中，单元的几何矩阵 B =[ B i B j B m B n ]，而 B i 为
单元的变形能为
式中， V e 、 S e 分别为单元的体积和面积，则单元刚度矩阵为
K e 的显式为12×12的方阵，请读者查阅相关参考书籍。
3.单元相容性和收敛性
在单元的边界上，位移函数是三次多项式。例如在图 7-3 所示的 y 坐标为常数的单元边 jm 上，挠度 w 是坐标 x 的三次多项式
将挠度 w 对 x 求偏导数即得该单元边界上的转角 θ y ：
将节点 j 、 m 的坐标 x j ， x m 、挠度 w j ， w m 以及转角 θ yj ， θ ym 代入式（7-10），式（7-11），可唯一确定系数 a 、 b 、 c 、 d 。显然，在单元边界上挠度和转角 θ y 是连续的。而根据式（7-6）可知，在单元边 jm 上 θ x 也是 x 的三次多项式，只根据节点 j 、 m 的转角 θ xj ， θ xm 无法唯一确定该三次多项式，故单元边 jm 上 θ x 是不连续的。因此，该单元不满足相容性要求，是非协调单元。
但是，该单元能通过分片试验，计算实践也证明，该单元是具有较好的收敛性的。
在7.1.2节研究的4节点矩形薄板单元中，由于公共单元边上的转角不连续，导致单元不满足协调性要求，如果考虑板横向剪切变形的影响，对挠度和转角分别插值，就可以克服该问题。同时，这样的平板弯曲单元计算比较简单、精度较好，并能利用坐标变换以适应不规则外形，因而实用价值较高。
根据明德林（Mindlin）厚板理论，板的变形符合以下假设：
（1）板的挠度 w 是较小的。
（2）变形前板中面的法线在变形后仍为直线，但不再垂直变形后的中曲面。
（3）沿板厚度方向的应变可忽略不计。
如图 7-4 所示，与铁木辛科梁类似，考虑剪切变形时，板中面的法线绕 x 、 y 轴的转角 θ x 、 θ y 为
式中， β x 、 β y 为横向剪切变形引起的剪切应变。截面上任意一点的位移是
图7-4 考虑剪切变形时梁的转角
板上任意一点的应变为
式中， k =[ ε x ε y γ xy ] T ， γ =[ γ yz γ zx ] T 。
板上任意一点的应力为
式中，弹性矩阵
D
=
于是板的单位宽度上内力矩矩阵和剪力矩阵为
如图 7-5（a）所示的 4 节点等参数平板单元离散板的中面，该单元有 4 个节点，每个节点有3个自由度：挠度 w 和法线绕 x 、 y 轴的转角 θ x 、 θ y 。现用以下变换将图7-5（b）所示的边长为2的正方形母单元映射为图7-5（a）所示的实际单元
图7-5 4节点等参数平板单元
式中， N i 、 N j 、 N m 、 N n 为形状函数，其解析式参见式（6-7）。
取单元的位移函数为
将式（7-15）代入式（7-12），得单元应变为
式中，单元节点位移列阵 δ e =[ w i θ xi θ yi w j θ xj θ yj w m θ xm θ ym w n θ xn θ yn ] T ，几何矩阵
单元刚度矩阵为
式中，
V
e
、
S
e
分别为单元的体积和面积，
为雅可比矩阵
J
的行列式。显然，式（7-17）中第一部分、第二部分分别为弯曲和剪切引起的单元刚度矩阵。
与铁木辛科梁类似，当板厚趋于零时，也会出现剪切闭锁现象。为了避免剪切闭锁现象，可采用缩减积分等方法。