2.2 系统数学描述

选择合适的坐标系以及运动状态矢量便于对可观测性问题进行分析和比较，这里主要给出三类坐标系，分别是直角坐标系、改进极坐标系和极坐标系。其中，直角坐标系比较适合描述目标静止、观测站运动时的系统状态；极坐标系比较适合描述目标运动、观测站静止时的系统状态。

2.2.1 直角坐标系下的系统数学描述

假定目标静止，观测站运动，只考虑运动平面的两维情形，坐标系如图2-1所示。取 Y 轴为北， X 轴为东，坐标原点为观测站的初始位置。假设目标的位置为 X =[ x ， y ] ^T ， x 为目标位置的 X 轴分量， y 为目标位置的 Y 轴分量。观测站进行等时间间隔的 k 次观测，其运动状态向量为 X _wk =[ x _wk ， y _wk ， v _wkx ， v _wky ] ^T ， x _wk 为第 k 次观测位置的 X 轴分量； y _wk 为第 k 次观测位置的 Y 轴分量； v _wkx 为第 k 次观测时速度的 X 轴分量； v _wky 为第 k 次观测时速度的 Y 轴分量； r _k 为第 k 次观测时目标与观测站间的距离。

2.2.2 极坐标系下的系统数学描述

极坐标系主要用来描述静止观测站、匀速直线运动目标的状态，如图2-2所示。观测站位于极点， k 时刻目标与观测站之间方位角 β _k 由极角表示，目标的位置矢量为 r _k ；记从观测站到目标轨迹的最近点，即航路捷径点为CPA，到CPA的位置矢量为 r _c ，从CPA到目标的矢量为 l _k = r _k -r _c 。从 k -1时刻到 k 时刻的位移为 m _k = r _k -r _{k -1} 。目标的位置和速度状态由 r _k 与 m _k 表示。定义标量

及

定义航迹法线的偏角为 α ，则直线运动目标的运动状态完全由 D 、 L _k 、 m _k 、 α 四个参量来描述。对于周期性向外辐射的匀速直线运动目标来说， k 即为时间间隔，则各时刻的位移量相等， m _j = d （ j =1，2，…），且 d ≠0。目标运动的状态向量可描述为 X _k =[ D ， L _k ， d ， α ] ^T 。

2.2.3 修正极坐标系下的系统数学描述

修正极坐标系下，目标与观测站的运动态势如图2-3所示，目标与观测站之间的运动状态为 ，式中 β 表示目标与观测站之间的方位角， r 表示目标与观测站之间的距离。