2.1 证券组合选择理论

2.1.1 理论产生的背景

投资组合理论诞生于20世纪初，当时西方证券市场不规范，投机十分猖獗，风险极大。直至美国于1933年、1934年分别颁布了《证券法》和《证券交易法》，证券市场才得以规范。为了规避风险，出现了以分散风险为原则的传统投资组合理论。

证券投资的收益率具有不确定性特点，所以在计算收益率时结果应该是期望收益率，这就需要引入概率进行分析。具有开创性的人物是美国的哈里·马科维茨。马科维茨于1947年从芝加哥大学经济系毕业并获得学士学位，于1950年、1952年在芝加哥大学分别获得了经济学硕士和博士学位。证券组合选择理论就是他在考虑学位论文题目时产生的。当时他偶然想到将数学方法运用于股票市场的可能性，进而提出了有关预期收益率和风险之间关系的资产选择理论，成为后来资本市场理论最重要的奠基石和核心，为现代证券投资理论的建立和发展奠定了基础。1952年，马科维茨在他的学术论文《资产选择：有效的多样化》中，首次应用资产组合报酬的均值和方差这两个数学概念，从数学上明确地定义了投资者偏好，第一次将边际分析原理运用于资产组合的分析研究。

1952年，在取得芝加哥大学经济学博士学位后，马科维茨加入了兰德公司。在兰德公司工作期间，马科维茨开始将其理论应用于实际业务，开发了一系列应用于证券组合与资产分析的新技术、新方法。马科维茨在兰德公司工作期间并未研究证券组合选择理论，但从乔治·但泽那里学到了优化技术，并把它运用在均值-方差边界速算法中。受詹姆斯·托宾（美国经济学家，1981年诺贝尔经济学奖获得者）之邀，于1955—1956年到耶鲁大学考尔斯基金会工作一年，这一年他有充足的时间进行理论上的思考及与朋友交流，并形成了1959年出版的著作《资产组合：有效的多样化》的框架。

由于其出色和开创性的工作，马科维茨与威廉·夏普及默顿·米勒分享了1990年的诺贝尔经济学奖。马科维茨对金融经济学的主要贡献在于：提出了有关预期收益率和风险之间相互关系的证券组合选择理论，为现代证券投资理论的建立和发展奠定了基础。马科维茨的著作为投资管理者进行金融管理指明了方向，使大多数投资管理者可以依据他所提出的均值-方差分析来估计证券风险、设计不同的投资管理结构。他提出的证券组合选择理论，有助于投资者选择最有利的投资，以求得最佳的资产组合，使投资报酬最高而风险最小。

2.1.2 单只证券的收益率与风险

1. 单只证券的期望收益率（Expected Rate of Return）

无风险证券的期望收益率：

式中，R 表示投资者的收益率，P ₀ 表示投资者所持证券的期初价格，P _T 表示证券在持有期期末的价格，D表示投资者在证券持有期间所获得的资本收益，由股息或利息构成。这一计算公式是非常粗略的。事实上，由于证券市场的不确定性，收益率R会存在产生不同结果的可能。这就需要引入概率进行分析。

考虑风险的期望收益率：

如果收益率R服从的是离散型分布，则采用加权求和的方式。

式中，R _i 为第i种可能的结果发生时的投资收益率，P _i 为第i种可能的结果发生的概率，N表示共有N个可能的结果。

若收益率R服从的是连续型分布，则采用积分的方式。

式中，f(R)为收益率R的密度函数。

2. 单只证券收益率的方差（Variance）和标准差（Standard Deviation）

如果收益率R服从的是离散型分布，则方差的计算公式为

式中，Var(R)或σ ² 表示方差。

如果收益率R服从的是连续型分布，则方差的计算公式为

标准差是方差的平方根，它通过对方差开方恢复了原来的计量单位。相对于方差来说，标准差更容易进行比较。

σ ² 表示方差，标准差是方差的平方根，即 。

方差和标准差代表了证券的风险。计算得出的方差越大，风险越大。

例如，投资项目A和B的收益率如表2.1所示，测算投资项目A和B的收益率与风险。

项目A：

期望收益率E（R _A ）= 9.6%

方差Var（R _A ）=4.24%

标准差σ _A =2.06%

项目B：

期望收益率E（R _B ）= 9.4%

方差Var（R _B ）=12.29%

标准差σ _B =3.50%

2.1.3 证券组合的收益率与风险

在投资风险证券时，人们为了规避风险，往往购买两种或两种以上的证券，即采取组合投资的策略，计算证券组合的期望收益率和方差。

1. 证券组合中各证券之间收益率的相关性

在测算证券组合的风险时，不仅要测算每种证券的风险，而且要测算在证券组合中每种证券之间的关系对收益率的影响，这是证券组合分析与单只证券分析的最大不同。这就需要计算协方差。

协方差用来衡量证券收益率之间的变动关系。

相关系数在-1～+1之间。-1表示两种证券的收益率变化方向完全相反，即证券完全负相关；1表示证券完全正相关；其他数值表示一般相关关系。

马科维茨认为证券组合的回报率不确定，没有哪只证券与其他证券有完全的相关关系。

2. 证券组合的期望收益率

证券组合的期望收益率是资产组合中每种证券收益率的加权平均值。

式中，E(R _p )表示整个组合的期望收益率，W _i 表示第i只证券的投资金额在组合投资总额中所占的比重。

3. 证券组合的方差

4. 证券组合与风险分散

假设在有N种证券的情况下，每种证券的方差 都相等，表示为σ ² ，每种证券的投资比例W _i 也相等，为 ；用 表示组合的方差，用σ _ij 表示证券i和j之间的协方差。

当N越来越大时，组合的方差 将收敛于σ _ij ，如图2.1所示。

2.1.4 证券组合的选择

马科维茨认为，可行集中包括无数个可供投资者选择的证券组合，投资者可以通过有效集（Efficient Set）理论来找到最佳的证券组合。所谓最佳的证券组合，一般要满足两个条件：

（1）在相同风险的水平下具有最大收益率的证券组合。

（2）在相同收益率的水平下具有最小风险的证券组合。

在如图2.2所示的可行集中，所有组合中S点的期望收益率最大，G点的期望收益率最小，因为可行集中所有的点都位于S点的下方、G点的上方。从S点到G点这个区间包含了各种证券组合的期望收益率。在同样的期望收益率水平下，风险最小的证券组合位于从G点经P点到S点的曲线段上。因此，符合在相同收益率的水平下具有最小风险的证券组合从G点到S点的左边界上。

在如图2.2所示的可行集中，所有组合中P点的风险最小，H点的风险最大，因为可行集中所有的点都位于P点的右方、H点的左方。从P点到H点这个区间包含了各种证券组合的所有风险。在同样的风险水平下，期望收益率最大的证券组合位于从P点经S点到H点的曲线段上。因此，符合在相同风险的水平下具有最大收益率的证券组合在从P点到H点上方的边界上。

有效集应该是曲线段 GS 和 PH 的交集，也就是曲线段 PS，因为只有在曲线段PS上的证券组合才能同时满足上述两个条件，所以这条线段也叫作有效边界。

无差异曲线 I：斜率为正；下凸（意味着在边际效用递减原理的作用下，随着投资者每次等量风险的增加，所获得的期望收益率越来越大）。

在同一条无差异曲线上给投资者带来的效用是相同的，如图2.3所示。无差异曲线和有效边界的对比如图2.4所示，风险偏好的区分如图2.5所示。

马科维茨的证券组合选择理论奠定了现代金融的数量化分析的基础，第一次将概率论引入投资分析领域，用预期收益率和方差来进行收益率和风险的度量，从而在数学上证明了分散投资比集中投资表现好的基本原理。这也是以分散投资为特征的共同基金诞生的理论基础。 Y8aIs5W/h4wBgBm8EPfuE7kXqteOddaim7P6f+lmVTRU1nSpJQHoqWYBBBj7yKee