5.4 CORDIC算法的性能分析

理想的CORDIC架构取决于具体应用中速率与面积的权衡。可以将CORDIC算法等式直接翻译成迭代型的位并行设计，然而位并行变量移位器并不能很好地映射到FPGA中。由于需要若干个FPGA单元，因此导致设计规模变大，从而使设计时间变长。

5.4.1 迭代次数对精度的影响

为了达到所需要的精度，需要解决两个问题，即迭代次数和数据宽度。Yu Hen Hu设计了一种算法，该算法可以解决CORDIC迭代中基于总量化误差（Output Quantization Error，OQE）的问题。一旦确定了OQE，即可计算有效小数位的数目。

为了说明增加迭代次数n对硬件成本的影响，下面给出两种情况，即数据通路b为6个小数位和14个小数位。假设一个切片中包含两个LUT，如表5.8所示。

5.4.2 总量化误差的确定

Yu Hen Hu提出OQE由两种误差组成：

（1）近似误差。CORDIC旋转角度存在有限个基本角度量化所带来的量化误差。

（2）舍入误差。取决于实际实现中使用的有限精确度的代数运算。

可根据下面的参数定义上述两种误差：①迭代次数n；②数据路径中小数位的位数b；③最大向量的模值 （ ）。

由于总是执行全套的伪旋转，所以基于最坏情况的误差用于保证某个水平的数值精度。为了说明这一点，当尝试找到3个随机向量幅度时，考虑在每个迭代后（标定后）的误差，如表5.9、表5.10和表5.11所示。在每种情况下，数据宽度为19个小数位。

注 ：这个误差是CORDIC输出与浮点参考幅度进行比较的。

使用向量模式时，目标就是通过迭代使向量趋近x轴。有限次的旋转通常导致剩余一个小角度δ，从而引起近似误差，如图5.17所示。

只执行一次迭代的例子，如图5.18所示。开始时，模为1的向量，其初始角度为60°。第一次迭代将向量旋转45°，从而导致了δ=15°的角度量化误差。对于一次迭代，其伸缩因子K为

因此，旋转向量的幅度现在是 。等式给出x的值为 。用这个值除以伸缩因子K（1），得到了真正的量化幅度为cos15°。

图5.18中对应的x的输出表示为

5.4.3 近似误差的分析

为了计算近似误差的上界，必须找出δ的上界。Yu Hen Hu提出δ的上界为

其中，a（n-1）为最终的旋转角度。

从图5.19可知，近似误差可以表示为

5.4.4 舍入误差的分析

Yu Hen Hu 推导出的舍入误差可以表示为

式（5.27）中，b为数据路径中的小数位个数；n为迭代次数。

5.4.5 有效位d _eff 的估算

为了计算有效位d _eff ，必须首先计算OQE。前面已经提到了OQE的计算方法：

因此有效位d _eff 表示：

这种方法求得的d _eff 依赖于所选择的b和n。然而，希望先指定d _eff ，然后求出b和n。因此，Yu Hen Hu采用的方法是通过取不同组的b和n，将计算出的d _eff 值编制成表，通过查表找到所需的d _eff ，其对应的b和n即为可知。

一小部分OQE与d _eff 之间的关系如表5.12所示。

并不是所有计算器都允许计算以2为底的对数运算。因此，可使用下面的运算来代替：

5.4.6 预测与仿真

使用OQE方程可以计算出一个表，从而对一组n和b可以预测出d _eff 。假如输入被限制在±0.5的范围内，那么 。使用 的值，3≤n≤9和8≤b≤10，仿真值如表5.13所示。

给定一个d _eff ，通过d _eff 表就可以找出n和b。例如，希望计算包含6个小数位精度的向量幅度。通过查表5.13，能够提供该精确度的最有效的结构是n=4、b=8。当使用这组值设计CORDIC系统时，相对于浮点设计，最坏情况下所产生的误差小于2 ^-6 。 HUn1McOsc/8rYlq7VlconKP/3rNFKMP3Nx+TdeztwR8WX0F8MGxD9Bys2yr4cb7M