2.5 相对阶大于1的非线性系统执行器故障诊断

目前基于观测器设计的执行器故障诊断方法，无论是基于未知输入观测器设计，还是基于滑模观测器设计，都有必须满足的假设条件来保证观测器的存在性。用文字来表达就是系统输出到执行器故障的传递函数矩阵必须是最小相位和系统输出到执行器故障的相对阶必须为1，在有些论文里这些条件也被称为观测器匹配条件 ^[64] 。本节主要研究当系统相对阶大于1时的执行器故障诊断方法，目前已有部分学者对于此类系统进行了相关研究，比较有代表性的是Ng K.Y.和Tan C.P.的研究 ^[65-67] 。他们针对相对阶大于1的系统的故障重构问题采用了级联观测器的思路，通过滑模理论中等效输出的概念来进行故障重构。但目前的研究都仅局限在线性系统范畴，且该方法需要经过多次状态变换将控制系统的数学模型变换为一个具有标准型形式的数学模型，其间过程相对复杂。本节基于微分几何的一些知识通过构造辅助输出的方法来设计故障诊断方法，将该方法应用到三自由度双旋翼直升机的非线性模型上，仿真结果证明了该方法的正确性和有效性。

2.5.1 微分几何基本知识

本节在描述微分几何相关的数学工具时，将向量函数 f:R ⁿ →R ⁿ 称为R ⁿ 上的一个矢量场，并且假设矢量场 f（x）是平滑的，即具有任意阶连续偏导数。假设一个状态向量x的平滑的标量函数h（x），则它的梯度记为：

h （x）它是以 为元素的行矢量。

定义 2.1 ^[68] ：假设h:R ⁿ →R为一平滑的标量函数，f :R ⁿ →R ⁿ 为R ⁿ 空间上的一个平滑的矢量场，则h对 f 的李导数是一个定义为L _f h=▽h · f 的标量函数。

以上定义了一阶李导数，可以继续递归地定义多重李导数：

类似的，如果g是R ⁿ 空间上的另外一个矢量场，则标量函数L _g L _f h（x）定义为

如果假设如下具有单输入单输出的仿射非线性控制系统：

定义2.2 ^[68] ：对于仿射非线性控制系统式（2.88）～式（2.89），如果对于∀x∈Ω，其中Ω是状态空间中的一个开连通区域，有如下性质：

则称系统在Ω内的相对阶为r。

相对阶的意义其实为对系统的输出一直求导数，直到系统的输出中首次显含输入为止。

2.5.2 三自由度双旋翼直升机非线性模型分析

在2.2节中，建立了三自由度双旋翼直升机控制系统的非线性数学模型，可表示为如下非线性系统的形式：

式中，各变量的定义参考2.2节。

在2.3节和2.4节中分别针对建立的线性系统和非线性系统设计了故障诊断观测器，这些设计都是建立在系统输出矩阵式单位阵的情况即系统输出向量就是状态向量的情况，这需要系统的状态都可测。对于三自由度双旋翼直升机平台来说，即要求直升机本体绕三个轴转动的角度信号和角速度信号都可测；但平台实际上只有三个角度信号可直接测量，三个角速度信号不可测量。前几节介绍半物理仿真时，都利用一种近似模拟逼近的方法解决姿态角速度信号不能直接测量得到的问题，根据传感器测量到的姿态角信号，使其通过一种预先设计好形式和参数低通滤波器来估计其微分信号，即三自由度双旋翼直升机的角速度信号，这也是半物理仿真时故障估计曲线波动比较大的一个原因，滤波器的形式如下所示：

式中，滤波器参数ω _c =40π,ζ=0.6。分析该滤波器的频率特性可知道，在低频段它的频率特性曲线与标准微分环节的频率特性曲线十分接近，可较好的模拟微分环节，而在高频段相比于标准微分环节，滤波器式（2.94）具有较好的限幅能力，因此对于输入信号中的高频噪声又具有一定的抑制作用。而考虑到实际直升机飞行时角度信号的变化都比较缓慢，频域特性都分布在低频段，故应用该滤波器也能够模拟出角速度信号，所以通过角度传感器和设计的低通滤波器可认为三自由度双旋翼直升机控制系统的状态 完全可测，这是前面两节设计故障诊断观测器的基础。

但通过低通滤波器逼近只是对角速度信号的模拟，存在一定的误差，这里主要研究在不引入低通滤波器来估计角速度，只依靠传感器测得的角度信号情况下的三自由度双旋翼直升机执行器故障诊断方法，这时控制系统的执行器加性故障模型变成如下形式：

式中，A _N ,B,g（x,t）与式（2.92）～式（2.93）中的定义一样，而输出矩阵变为：

系统发生执行器故障，故障分布矩阵即为输入矩阵E _f =B，这时rank（CE _f ）≠rank （E _f ），系统状态方程不满足前两节的假设条件，故前两节提出的方法不再适用。对于条件rank（CE _f ）=rank（E _f ）=r，即要求该系统输出到故障的相对阶为1。

2.5.3 基于构造辅助输出的执行器故障诊断

1.构造辅助输出的故障诊断方法

为方便构造辅助输出，将三自由度双旋翼直升机模型式（2.95）～式（2.96）改写为以下形式：

式中，h（x）=[h ₁ ,h ₂ ,h ₃ ] ^T ,B=[b ₁ ,b ₂ ],E _f =[E ₁ ,E ₂ ], , ，其他各矩阵具体形式如下：

假设系统状态向量x（t），执行器故障 f（t）以及他们的导数范数有界，设系统输出相对于故障 f 具有相对阶向量（r ₁ ,r ₂ ,r ₃ ），则满足：

经计算该系统输出的每一行h ₁ ,h ₂ ,h ₃ 对故障的相对阶分别为r ₁ =r ₂ =2,r ₃ =4。

构造如下增广辅助输出：

式中， ,1≤α _i ≤r _i ,i=1,2,3

通过观察三自由度双旋翼直升机的数学模型，发现具有如下性质：

式中，c _i 为式（2.96）中输出矩阵C的第i行，取α ₁ =α ₂ =α ₃ =1时，系统辅助输出为：

考虑如下新系统，状态方程与式（2.92）一样而输出变为构造的辅助输出：

式中，A _N ,B,g（x,t）与式（2.92）～式（2.93）中的定义一样，而输出矩阵变为：

这个新系统满足观测器匹配条件，对于这个新系统，可应用2.4节提出的定理2.2进行故障诊断。这里需要指出的是，系统实际的输出是y而不是y _a ，辅助输出y _a 不仅包含y也包含一些未知信息。故下面需要给出辅助输出在有限时间内的精确估计方法，在得到辅助输出的精确估计之后，用精确估计值代替观测器中y _a 的值，以达到故障诊断的目的。

2.辅助输出的估计

对于系统状态向量微分的估计，早期的方法是采用差分或超前网络的方法来近似估计，如2.5.2节提出来的低通滤波器就是超前网络。近些年来，性能更优的各种微分器技术得到了较大发展，其中比较有代表性的成果有韩京清等人 ^[69-70] 提出的非线性跟踪-微分器和 Levant ^[71-72] 提出的高阶滑模微分器。这里采用高阶滑模微分器来对辅助输出y _a 进行估计，它吸纳了滑模变结构控制中的部分特点，具有鲁棒性强、估计精度高、收敛速度快等优点。

为了对y _a 进行估计，需要得到y _a 的状态空间描述的动态系统，根据系统式（2.97）～式（2.98）,y _a 的状态空间描述可以通过对y _ai 微分得到。

令y _ai,1 =h _i ，对其求微分得

根据式（2.99）得

再次求微分得

继续带入式（2.99）得

依次求导直到r _i 次：

令 , ，且选取y _i1 =h _i 为输出方程，则y _ai 的状态空间表达式可表示为：

基于本小节假设可知 未知但范数有界。

针对系统式（2.111），基于文献[74]中的方法，设计如下高阶滑模微分器：

其中

式中，λ _i,j ＞0（j=1,2,…,r _i +1）为增益系数；sgn（·）为符号函数。

根据文献[71]、文献[73]可知，系统式（2.112）是系统式（2.111）的高阶滑模微分器，通过正确选取增益系数λ _i,j 系统式（2.112）可用来精确估计系统式（2.111）的各个状态，即可实现对构造的辅助输出信号进行精确估计。

2.5.4 仿真与分析

这里将2.5.3节提出的方法在三自由度双旋翼直升机上进行仿真验证，系统模型为式（2.95）～式（2.96），设计的带有辅助输出的系统为式（2.104）～式（2.105）。辅助输出含有y _a1,2 ,y _a2,2 和y _a3,2 信号，需要通过高阶滑模微分器式（2.112）进行估计。

根据计算，输出的每一行对故障的相对阶分别为r ₁ =r ₂ =2,r ₃ =4，按照式（2.112）分别设计三个高阶滑模微分器，设计增益系数分别为：λ _1,1 =λ _2,1 =6,λ _1,2 =λ _2,2 =4，λ _1,3 =λ _2,3 =1.5,λ _3,1 =λ _3,2 =λ _3,3 =λ _3,4 =4,λ _3,5 =1.5。

三自由度双旋翼直升机的期望输出设置成如下信号：航向角是一个幅值为30°频率为0.03Hz的方波信号，升降角是一个幅值为7.5°频率为0.04Hz的方波信号，俯仰角保持在0 °。假设直升机在运行到10s 时执行器发生加性故障，此时故障形式为f（t）=[f ₁ （t） f ₂ （t）] ^T ，其中

下面分为系统没有干扰和存在干扰两种情况对系统进行仿真：

1.系统无外部干扰

图2.27表示采用设计的高阶滑模微分器估计的辅助输出的曲线和实际曲线的比较，图2.27（a）分别为y _a1,2 ,y _a2,2 和y _a3,2 的真值，图2.27（b）分别为y _a1,2 ,y _a2,2 和y _a3,2 的估计值，由曲线可以看出设计的高阶滑模微分器可以很准确地估计辅助输出的值。

图2.28为对构造辅助输出的系统应用2.4节提出的故障诊断算法得出的故障重构曲线，由图可看出基于构造辅助输出的方法可达到故障诊断的目的。图2.29为假设辅助输出信号直接可测，对该系统设计同样的故障诊断方法所得到的故障重构曲线。通过对比基于2.5节提出方法的故障重构曲线与辅助输出信号直接可测的系统的故障重构曲线，发现如果构造的辅助输出信号可测量得到，则故障估计曲线十分平滑且收敛到故障真值后不会产生上下波动，而构造的辅助输出信号无法测量时，基于2.5节提出方法的故障重构曲线存在小范围上下波动的情况，这是由于对辅助输出信号的估计就存在很小的波动。

2.系统存在外部干扰

干扰信号选取为幅值在-0.1～+0.1变化的白噪声。此时采用设计的高阶滑模微分器估计的辅助输出和其真值的误差曲线如图2.30所示，三张图分别为y _a1,2 ,y _a2,2 和y _a3,2 的估计值和真值之间的误差曲线，可见加入扰动后，高阶滑模微分器依然能估计出辅助输出，并且对扰动信号也具有一定的抑制作用。

图2.31为系统存在干扰时对构造辅助输出的系统应用2.4节提出的故障诊断算法得出的故障重构曲线，由图可看出基于构造辅助输出的方法可估计出发生的故障，但与图2.28的曲线相比，曲线波动值幅值增大。图2.32为假设辅助输出信号直接可测，对该系统设计同样的故障诊断方法所得到的故障重构曲线。综合考虑图2.20、图2.31和图2.32，当系统存在干扰的情况下，2.5节提出的方法依然能完成故障诊断的目的，设计的高阶滑模微分器能很好地估计出辅助输出，对干扰的抑制作用也很明显，假设辅助输出可测时所设计的故障诊断方法也能较好的抑制扰动，但当两个结合后对扰动的抑制作用有所减弱。