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2.2 逆变电源的最优控制
逆变电源是智能工厂重要的电源设备，主要应用在移动式设备、电力控制系统控制电源等方面。目前，逆变电源主要采用恒压恒频（CVCF）交流逆变器，就是将直流电转变成恒压恒频交流电输出的电力变换器，其控制方案主要有双闭环控制、重复控制、滑模控制、无差拍控制等。以双闭环控制为例，其控制设计简单、波形的失真小而且动态响应快，但是它的缺点就是输出电压存在一定幅值和相位的稳态误差；虽然通过重复控制方案可以消除幅值和相位的稳态误差，但它会存在一个输出周期的延迟并且动态响应不好。
单相全桥逆变器主电路如图2-6所示，U in 为输入直流电压，u C 为输出电压，i L 为电感电流，电感L和电容C构成低通滤波器，R L 为等效阻性负载。
图2-6 单相全桥逆变器主电路
由基尔霍夫电压电流定律可以列写状态方程为
定义：Q 1 、Q 4 导通时，u=1；Q 2 、Q 3 导通时，u=0。
由于在一个开关周期内Q 1 、Q 4 与Q 2 、Q 3 互补导通，以上定义的 u 即为开关Q 1 、Q 4 的占空比。可将式（2-22）与式（2-23）合并为
选取状态变量x=（x 1 ，x 2 ）=（i L ，u C ），输出变量y=h（x）=x 2 =u ref ，可得适合于微分几何方法的单相全桥逆变器的单输入—单输出的非线性模型，即
式中，
。
1.最优控制理论
定义：如果∀ x∈Ω，有
则称单输入-单输出系统于Ω 上具有相对阶r。
定理：设 f （x）和g（x）是光滑矢量场，式（2-25）所表示的非线性系统是可以状态反馈精确线性化的，当且仅当存在一个区域Ω 使得下列条件成立：
（1）矢量场
在Ω 上线性无关；
（2）集合
在Ω 上对合。
若满足上述条件，就必然存在一个输出函数h（x），使得在区域Ω 该系统的相对阶r等于系统阶数n。
根据微分几何理论，由式（2-25）可得
由上述内容可知，该系统关系度（系统维数）r=2。
同时，由于
矩阵
的秩为 2，条件（1）也满足。所以，可以得出结论：单相全桥逆变器非线性系统能够通过坐标变换和状态反馈实现原系统的状态反馈精确线性化。
定义如下非线性坐标变换
式（2-25）所示系统在新坐标系下表示为
在此坐标系下，式（2-25）所示系统的状态反馈为
式中，v为经坐标变换后的线性系统的新输入。
2.矩阵Q和R选择
根据二次型最优控制理论，线性定常系统为
式中，
；
。
二次型性能指标为
式中， Q 为正定或正半定对称矩阵； R 为正定对称矩阵。
式（2-31）的第 1 项体现控制过程中和终端时刻的状态误差接近于 0，第 2项是对控制幅度的限制。
要使性能指标函数最小，则最优控制为
反馈增益矩阵为
式中， P 是黎卡提代数方程 PA + A T P-PBR -1 B T + Q =0的正定对称解。
无源性控制方法的基本思想是在控制器的设计中，通过注入需要的阻尼项，适当配置系统能量耗散方程中的“无功力”，迫使系统总能量跟踪预期的能量函数，使闭环控制系统是无源的，从而保证系统的输出误差渐近稳定于零点，使系统的状态变量渐近收敛到期望值。控制系统的无源性包含闭环系统的稳定性，是稳定性概念的扩展。稳定性只是无源性的一种特殊情况，李亚普稳定性理论正是在无源性概念的基础上发展起来的。
基于无源性理论构造闭环系统储能函数 H，可通过使闭环系统所期望的储能函数是无源的，来达到控制目标。系统性能用加权误差（状态稳定）平方积分I B 来衡量。比较发现二次型性能指标J和加权误差平方积分I B 基本相似。故可以基于无源性理论来构造闭环系统能量函数，为
由式（2-28）可知
写成矩阵形式为
故，对应于式（2-34）的 Q 为
并且选取权矩阵为
将矩阵 A 、 B 和式（2-36）、式（2-37）代入黎卡提代数方程，即可解得矩阵 P 和反馈增益矩阵 K 。将求得的反馈增益矩阵 K 代入式（2-33）、式（2-35），即可得到原非线性系统的反馈控制律u。
由以上分析，最终得到的系统控制框图如图2-7所示。
图2-7 系统控制框图
利用 Matlab 对系统进行仿真，系统参数如下：输入电压 U in =150V，输出工频电压 u ref 峰值为 50V，额定负载 R L =50Ω，开关频率 f s =10kHz，输出滤波电感L=5mH，输出电容C=28.2μF。
将上述系统参数代入式（2-36）、式（2-37），并利用Matlab指令“K=lqr（A B Q R）”，求得反馈增益矩阵 K =（k 1 k 2 ） T =（2860100 2600） T 。
通过Matlab编写程序，运行Matlab的M文件得到系统仿真图形，如图2-8～图2-10所示。
图2-8 线性化最优x 1 =i L 曲线
图2-9 线性化最优x 2 =u C 曲线
图2-10 线性化最优反馈控制率曲线
由以上内容可知，原非线性系统经过精确反馈线性化后性能得到很好的改善，反馈控制率u的最优曲线能够绘制出来，反馈控制率最终会稳定在0.67左右。经过反馈线性化将非线性系统转化成了线性系统进行处理，然后又利用二次型的最优控制绘出了最优曲线，使得系统具有良好的稳态性能和动态性能。