下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
假设由交错轴齿轮传动 （∑
（1）
，∑
（2）
） 建立图1-16所示的坐标，齿轮1、2固结的坐标系为S
1
、S
2
，S
0
（O
0
—x
0
，y
0
，z
0
）及S
d
、S
p
是三个在空间固定的坐标系。S
0
坐标系的z
0
轴与齿轮 2 的回转轴 z
2
重合；S
d
坐标系与 S
0
坐标系之间相差一个平移
[0 G-E]；S
p
坐标系与S
d
坐标系之间相差一个平移
[0 0 P]和90°-γ的旋转。大小轮的回转角速度分别为ω
2
、ω
1
，任意瞬时的转角分别为φ
2
、φ
1
。
图1-16 坐标系的变换
根据坐标转换关系可知，坐标系S 2 到S 0 的旋转变换矩阵为
坐标系S 1 到S p 的旋转变换矩阵为
坐标系S p 到S d 的齐次变换矩阵为
坐标系S d 到S 0 的齐次变换矩阵为
大小轮接触点的相对运动速度为
因为r
（2）
=r
（1）
-R
12
，
，所以相对运动速度式 （1-41） 可表示为
可进一步在坐标系S 0 中表示。先将有关各矢量代入S 0 坐标系中，大轮径矢量为
大轮坐标原点指向小轮轴线 （可以是小轮轴线上任意一点） 的矢量为
大小轮的角速度为
把上述各量代入式 （1-42），化简后可得
如果已知的量是r 1 坐标，则v （12） 在S p 坐标系中的表示会简单一些，这时各矢量表示如下：
则
如果把v （21） 表示到S 2 坐标系中，则v 2 （21） 不能直接利用v 0 （21） 做坐标变换，而必须把运算前的矢量先变换到S 2 坐标系中，这时
假设产形轮∑ （2） 曲面参数为u、θ，齿面方程用r 2 （u，θ）=[x 2 ，y 2 ，z 2 ] T 表示，根据图1-16坐标系中的相应关系，可由啮合方程
推出
式 （1-47） 中的坐标、法矢量是在S
2
坐标系中的表达，在其他坐标系中可以有类似的表达形式。
为啮合传动比。
（1） 当γ=0时，为正交交错轴传动，例如蜗轮蜗杆、准双曲面齿轮传动等。这时啮合方程为
（2） 当γ=90°或-90°时，为平行轴内、外齿轮传动。这时啮合方程为
式中，“+” 对应内啮合，“-” 对应外啮合。
（3） 当E=0时，为相交轴传动，例如锥齿轮啮合传动。这时啮合方程为
利用啮合方程式 （1-47） 或式 （1-48）～式（1-50） 可以解出
啮合方程一般都可化作式 （1-48）～式（1-51） 的形式。由式 （1-51） 可以解出φ
2
=φ
2
（u，θ）的关系，其几何意义是指转过φ
2
角，参数为 （u，θ） 的点成为啮合点。对于一定的转角φ
2
，一般有一系列的 （u，θ） 点对应，这些点构成了齿面2上的瞬时接触线。与此对应，齿面1上具有相应的啮合点与瞬时接触线，这些啮合点与瞬时接触线构成了齿轮1的齿面r
1
（u，θ）。角度φ
2
、φ
1
之间的关系为
，因初始转角通常取为零，所以
。
因为已知齿轮2的齿面方程，通过S 2 坐标系到S 1 齐次坐标变化，就可以求得与其共轭的小轮齿面方程：
式 （1-52） 同1.2节的方法异曲同工，都可以解决共轭曲面的包络问题。