1.3 等距曲线

从上一节的图1-4看到，半径为a的指形铣刀，其中心沿曲线L移动就切削出凸轮的轮廓线C。事实上在机械加工中，往往用到的是这个问题的反问题，即：已知凸轮的轮廓线C和铣刀的半径a，铣刀的中心应沿怎样的曲线运动？

此问题归结成数学问题就是：已知曲线C和半径为a的圆，则圆如何沿曲线C滚动才能得到曲线C，其实就是求圆心的运动轨迹C ^* 。这条轨迹曲线C ^* 就是C曲线的等距曲线，下面给出其定义。

1.3.1 法向等距线

设曲线C和曲线C ^* 上的点一一对应，任意一对对应点P和P ^* 的连线是C和C ^* 的公法线，且P和P ^* 的间距|PP ^* |为一常数，|PP ^* |=a，则称C ^* 为C （或C为C ^* ） 的法向等距线。下面建立法向等距线方程。

设曲线C的方程是r=r（s），曲线C ^* 和曲线C间的间距是a。求等距曲线C ^* 的方程。

由图1-12知，C ^* 的方程是

其中β（s） 是单位公法矢，当r ^* 为外等距线时取正号，当r ^* 为内等距线时取负号。

对式 （1-23） 两端求导，考虑到α ^* （s ^* ）=α（s），则

对α ^* （s ^* ）= α （s） 两端求导，并考虑β ^* （s ^* ）=β（s），得

由式 （1-24） 和式 （1-25） 可得法向等距线曲率之间的关系

如果令曲线r（s） 的法曲率半径R=1/k（s），则

设曲线C的方程为r={x（t），y（t）}，则

因γ={0，0，1}，则

代入式 （1-23），可得法向等距线C ^* 的另一种表示形式：

等距曲线的几个重要性质如下：

（1） 等距曲线的定义是对称的，C ^* 是C的等距曲线，C也是C ^* 的等距曲线。两等距曲线之间存在点的一一对应关系。

（2） 当s是C曲线的弧长参数时，一般情况下它不是C ^* 的弧长参数，而为一般参数。C ^* 的弧长参数是s ^* 。

（3） 曲线C和C ^* 在对应点处的切线矢互相平行。

（4） 一条曲线C的等距曲线有一族，它是以a作为参数的曲线族。

（5） 半径为a、圆心落在曲线C ^* 上的圆族{C _λ }，其包络线有两条，它们是与C ^* 曲线间距为a的两条等距曲线，即r ^* =r（s）±aβ（s）。

性质 （5） 是等距曲线的一个非常重要的性质，可以解决图1-4 所描述的数控加工问题。

例1-7 求抛物线r={t，t ² }的法向距离为a的等距曲线。

解 因 ，因为是平面曲线，则有

所以，

由此可见，法向等距线的形状已经完全发生变化，不能简单地认为它是原曲线的平移或按比例的缩放。

1.3.2 向心等距线

除了上述的法向等距线外，还有一种等距曲线——向心等距线。向心等距线的定义如下：

给定平面曲线C：r（t）={x（t），y（t）}和它凹向一侧定点P ₀ （x ₀ ，y ₀ ），以及向心距离h，则曲线C的向心内 （外） 等距线是指在曲线C上的点P（x，y）与点P ₀ （x ₀ ，y ₀ ）的连线上，按凹向之内 （外） 截取与点 P 距离为 h 的点 所连成的曲线C ^* ，如图1-13所示。

对于内向心等距线，要求满足条件： 。

根据图1-13，显然向心等距线C ^* 的方程为

我们常见的同心圆既是向心等距线，也是法向等距线。