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用平面数控机床加工一凸轮A，如图1-4所示，设指形铣刀的半径为a，圆心沿一条曲线L移动，指形铣刀滚动成一圆族{B k }，铣出凸轮轮廓线C，曲线C上每一点都与曲线族{B k }相切，则把C曲线称为圆族曲线{B k }的包络线。
图1-4 凸轮轮廓的包络
1.定义
设一平面曲线族{C λ }，若存在另一条平面曲线C，对于C 上的每一点，在曲线族{C λ }中都有唯一的一条曲线C λ 在该点P λ 与曲线C相切，则称曲线C为曲线族{C λ }的包络，如图1-5所示。
图1-5 曲线族的包络
例1-2 圆心在x轴上、半径为1的圆族{C λ }的方程是（x-λ） 2 +y 2 =1，求其包络线方程。
解 因圆心沿x轴做直线运动，其包络线就是平行于x轴的两直线：y=±1 （图1-6）。
这种简单的包络曲线，可以直观地观察出来。对于较复杂的曲线，则需要应用下述的方法求解。
图1-6 曲线族的包络
2.包络线求法
记曲线族{C λ }的方程为
若其包络曲线C存在，则必满足
证明：设曲线C方程为r={x（λ），y（λ）），则曲线C与曲线C λ 在P λ 处有相同的向径，即有
由其分量对应相等可得，t=t（λ），又因为曲线C和C λ 在曲线P λ 处相切，具有相同的切线方向，即满足
可见曲线C满足式 （1-17）。或者，包络曲线还可表示成如下形式：
又若曲线族C λ 方程为y=f（x，λ），则包络线C方程可以表示为
另外，要注意的是上述证明是在包络线存在的条件下进行的，即y t 、x t （或F x 、F y ）不同时为零，曲线C与曲线C λ 的相切点P λ 不是奇点。若y t =x t =0 （或F x =F y =0），点P λ 的坐标也满足式 （1-17） 或式 （1-19）。由此可知，式 （1-17） 或式 （1-19） 求得的曲线可能是包络线方程，也可能是奇点轨迹。因此，常把式 （1-17） 或式 （1-19） 称为包络判别式。若求得的方程，y t 、x t （或F x 、F y ） 不同时为零，则 （1-17） 或 （1-19） 即为包络线方程。
例1-3 求曲线族{C λ }：（x-1）（y-λ） 2 +x 3 +x 2 =0的包络线方程。
解 设F（x，y，λ）=（x-1）（y-λ） 2 +x 3 +x 2 ，则
包络线方程组为
消去λ，得x（x+1）=0，则有
又F
x
=（y-λ）
2
+3x
2
+2x，F
y
=2（x-1）（y-λ），因
，则
是原曲线族的奇点轨迹，而非包络线方程；因
，则
为包络线方程，如图1-7所示。
图1-7 奇点轨迹与包络线
例1-4 半径为a，圆心在抛物线y=x 2 上移动，形成圆族{C λ }，如图1-8所示，求该圆族的包络线方程。
图1-8 圆族的包络
解
圆族{C
λ
}的参数方程为
，则
由x θ y λ -x λ y θ =0得
代入圆族{C λ }的参数方程，消去θ，得包络线方程
该包络线为一条高次代数曲线，见图1-8。
从例1-4看出虽然指形铣刀沿一条抛物线运动，但它所切出的曲线C （圆族的包络线） 决不是简单地把抛物线平移，它是一条相当复杂的曲线。反过来也是如此，要通过圆族{C λ }的包络得到一条抛物线C，其圆族{C λ }圆心的轨迹，也决不是简单的抛物线。这一反问题，需要用到1.3节介绍的等距曲线。
在平面齿轮传动中，若一个齿轮不动，另一齿轮齿廓曲线连续相对运动，所产生的曲线族的包络就是不动的齿轮的齿廓曲线。
以平面啮合为例，两齿轮Ⅰ、Ⅱ作定轴等速运动，瞬时转角分别为φ 1 、φ 2 ，已知齿轮Ⅰ上的齿廓曲线b—b，求齿轮Ⅱ的齿廓曲线c—c，即共轭曲线。前面提出的包络问题都是一个刚体移动，另一刚体不动。对待两个移动的刚体应使用反转法，即齿轮Ⅰ既自转φ 1 ，又绕O 2 反向回转φ 2 ，这样就可以得到b—b曲线族{B k }，该族曲线的包络线C即为所求的共轭曲线。
引入三个坐标系：S 0 固定不动，S 1 与齿轮Ⅰ相固联，S 2 与齿轮Ⅱ相固联。已知齿轮Ⅰ的齿廓b—b曲线方程在S 1 中表达为F 1 （x 1 ，y 1 ，z 1 ）=0，或r 1 =r 1 （x 1 ，y 1 ，z 1 ）。
再设齿轮Ⅱ的齿廓c—c曲线方程在S 2 中表达为r 2 =r 2 （x 2 ，y 2 ，z 2 ）。
作齐次坐标变换M （φ 1 ，φ 2 ），齿廓Ⅰ转φ 1 ，齿廓Ⅱ转φ 2 =i 21 .φ 1 。把齿廓Ⅰ曲线b—b转换到坐标系S 2 中去表达：
式中，φ 1 为包络参数。应用式 （1-17） 的方法即可求出所需的包络齿廓。
例1-5 用圆盘插齿刀插削外矩形花键 （如图1-9所示），花键节圆半径为a，半宽为h，中心距为E，求插齿刀的廓形。
解 S 0 为空间固定坐标系，S 2 为与插齿刀固联的坐标系，S 1 为与花键轴固联的坐标系。在花键插削过程中，S 1 与S 2 坐标系的转角分别为φ 1 、φ 2 。
在花键轴坐标系S 1 中，花键的廓线方程可表示为
图1-9 花键加工
把花键的廓线转换到坐标系S 2 中去表达：
其中的变换矩阵M 21 =M 20 .M 01 ，即
式中，
这样可得插齿刀齿廓方程
对上式求偏微分，有
应用式 （1-12） 得到
将上式代入r 2 得到的即为插齿刀廓线方程。图1-10所示为h=4 mm，E=54 mm，a=30 mm，t∈[-4，0]，i 12 =0.8时的廓形，左侧廓形由右侧的廓线对称得到。
图1-10 插齿刀廓形
先给出一个单参数曲面族
其中α是参数。当α的值变化时，可得到族中不同的曲面S α ，并且假定函数F（x，y，z，α）具有一阶与二阶连续偏导数。
如果有一个曲面S，它的每一点是{S α }族中一个曲面S α 上的点，而且在S与S α 的公共点它们有相同的切平面；反过来，对{S α }中每一个曲面 S α ，在曲面S上有一点P α ，使S α 与S在P α 点有相同的切平面，则S称为单参数曲面族{S α }的包络，如图1-11所示。
图1-11 单参数曲面族的包络
由以上定义可以知道，曲面族{S α }的包络S满足方程组
包络面S与族中曲面S α 相切的曲线称为特征线，因而当α值固定时，式 （1-22） 为特征线的方程，而特征线的轨迹就是包络面S。也就是说，族中的每一曲面S α 沿特征线切于包络面S。
例如，在齿轮啮合或展成法加工时，任意瞬时总是存在一条接触线，也就是齿面包络的特征线。
例1-6 求球面族（x-a） 2 +y 2 +z 2 =1的包络与特征线方程。
解 设F（x，y，z，a）=（x-a） 2 +y 2 +z 2 -1，则
由-2（x-a）=0得a=x，代入球面族方程（x-a） 2 +y 2 +z 2 =1，消去a，得判别曲面方程
由于F x ′=-2（x-a），F y ′=2y，F z ′=2z不同时为零，所以 y 2 +z 2 =1 为包络面方程，特征线方程为
显然这是一个以x为轴线、半径为1的圆柱面。