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如图1-1 所示，设单位向量ω，对于任意向量a，其始点在ω轴上，a绕ω旋转任意角ε得到新的矢量b，求矢量b。
图1-1 矢量旋转
显然b是关于a、ω、ε的函数。b作为空间向量，用a、ω两个向量不足以表达，因此引入第三个矢量ω×a。这样b就可以表示为
这里有三个未知量λ 1 、λ 2 、λ 3 ，研究回转过程可知，b大小不变，即
b与ω的夹角不变，即
因此ω×a与ω×b的夹角也为ε，即
由式 （1-2）～式（1-4） 可确定λ 1 、λ 2 、λ 3 。对式 （1-1） 两端做ω数量积，得
则利用式 （1-3） 可得
对式 （1-1） 两端做a数量积，得
则利用拉格朗日恒等式可得
又因|ω×a|=|ω×b|，利用式 （1-4） 可得
与 （1-7） 式做对比可知
利用式 （1-1），注意到 a 2 =b 2 ，可得
所以
经验证，
这样可得旋转矢量表达式
由矢量旋转的表达式 （1-11） 可以看出，矢量旋转其实是施行了若干矢量运算。因此，向量的运算可以在向量旋转前或旋转后进行，其结果是相同的。用向量的向量积来解释就是：两个向量先做向量积再施行旋转与先施行旋转再做向量积，其最终得到的结果是一样的。
对于任意一个刚体，为了完全确定它在空间的位置，只要在刚体上固定一个坐标系 （S 1 ），如果我们能够对某个参考坐标系 （S 2 ） 描述这个坐标系 （S 1 ） 的位置，那么也就说明了此刚体在空间的位置。这就是坐标变换的意义所在。
这里所说的坐标变换是指坐标系的变化，这种变换广义上可以理解成一个映射或算子，即矢量在一个坐标系中的描述变换为在另一个坐标系的描述，或算子作用于一个矢量，代表一个移动或转动，或兼而有之。
如图1-2所示，两个坐标系S
1
{O
1
—x
1
，y
1
，z
1
}以及S
2
{O
2
—x
2
，y
2
，z
2
}，在坐标系S
1
中存在径矢
，或称点P的坐标。如何在坐标系S
2
中表示P点的坐标？这就是坐标变换问题。
图1-2 坐标变换
坐标变换存在如下的表达式：
即，坐标系S
1
经过一个平移
（在S
2
坐标系表达），再做一个旋转R变换到与S
2
重合。这时，径矢
即为
在坐标系S
2
中的表达。
1.旋转坐标变换
下面研究旋转变换矩阵R，R为3×3正交矩阵，对于右旋标架detR=1。
将坐标系S 1 经过一个平移c 21 ，使其原点重合；R 21 中每个元素为对应坐标轴夹角的余弦，即a 11 =i 1 .i 2 ，a 12 =j 1 .i 2 ，a 21 =i 1 .j 2 ，其他元素依次类推。假设坐标系S 1 相对于S 2 绕z 2 轴顺时针旋转θ角后重叠，则旋转变换矩阵为
由R的形成可以看出，R的每一行或每一列的元素平方和等于1，任意两行或任意两列元素乘积之和等于零，R的逆矩阵等于它的转置，即[R] -1 =[R] T 。
从标架的角度看，R 21 就是坐标系S 1 在S 2 中的描述，它的三列就是S 1 的三个坐标轴单位矢量（i 1 ，j 1 ，k 1 ）在S 2 中的表示。
从映射或算子的观点看，如果在S 1 有一矢量a 1 ，想求其在S 2 中的表达a 2 ，则a 2 =R 21 .a 1 ，这时要求坐标系S 1 、S 2 是同原点的。这对于自由矢量变换没有问题，但如果变换的矢量为径矢，则必须用式 （1-12） 的既平移又旋转。为表达方便，将式 （1-12） 化作映射或算子，引入齐次坐标变换矩阵。
2.齐次坐标变换
齐次变换把坐标看作4维来考虑。实数轴有限远点与笛卡尔坐标系中点的坐标形成一一对应的关系，无穷原点在三维欧氏空间没有坐标，为了刻画无穷原点，需要引入齐次坐标（x
*
，y
*
，z
*
，l）。如果把齐次坐标写作
，我们就会发现：当 l≠0时，表示有限远点；当l=0时，表示无穷原点的坐标。因此，有限远点的齐次坐标可以写作（x，y，z，1）。把式 （1-12） 的变换用齐次变换来描述，则
，其中
式中：R
21
为旋转变换矩阵式 （1-13）；元素a
14
，a
24
，a
34
表示坐标系S
1
的原点O
1
在坐标系S
2
中的坐标，即
。
如果进行逆变换，即坐标系S 2 向坐标系S 1 变换，则有
这时，b 14 =-（a 11 a 14 +a 21 a 24 +a 31 a 34 ），b 24 =-（a 12 a 14 +a 22 a 24 +a 32 a 34 ），b 34 =-（a 13 a 14 +a 23 a 24 +a 33 a 34 ），仔细观察会发现，括号内的项目分别为M 21 第4列元素同第1、2、3列元素的乘积之和。
为了熟悉上述的矢量变化，下面举一个机械手的运动分析的例子。
例1-1 图1-3所示为一个工业4自由度机械手。第1个自由度，|OO 1 |=l 1 段可绕O—z轴旋转任意角度q 1 ；第2、3个自由度，|O 1 O 2 |=l 2 段可绕O 1 —x 1 轴旋转任意角度q 2 ，|O 2 O 3 |=l 3 段绕O 2 —x 2 轴旋转任意角度q 3 ；第4个自由度，|O 3 P|=s段可绕O 3 —y 3 轴旋转任意角度q 4 。试确定P点的运动轨迹。
解
建立如图1-3所示的坐标系，坐标系S{O—x，y，z}为空间固定坐标系，S
1
{O
1
—x
1
，y
1
，z
1
}与第1段杆件固联，坐标原点在O
1
点，z与z
1
轴重合，S
1
绕z轴相对于S旋转q
1
角。相当于S平移
，再绕z轴旋转q
1
角后，得到S
1
坐标系。
依此类推，S 2 {O 2 —x 2 ，y 2 ，z 2 }与第2段杆件固联，x 2 与x 1 轴方向一致，其相对于S 1 的x 1 轴旋转q 2 角；S 3 {O 3 —x 3 ，y 3 ，z 3 }与第3段杆件固联，x 3 与x 2 轴方向一致，其相对S 2 的x 2 轴旋转q 3 角。
图1-3 机械手的坐标变化
首先确定 P 点在坐标系 S
3
中的轨迹，因
，绕旋转轴y
3
：{0，1，0}旋转角度q
4
，利用矢量旋转公式 （1-11） 可得
坐标系S 3 →S 2 齐次变换矩阵为
坐标系S 2 →S 1 齐次变换矩阵为
坐标系S 1 →S齐次变换矩阵为
连乘上述矩阵，即可得到P点在坐标系S中的轨迹方程
如果求解上述问题的逆命题，已知P点的运动轨迹或位置坐标，求机械手运动的转角（q 1 ，q 2 ，q 3 ，q 4 ），利用上式也是可以确定的。
最后要说明一下：对于复合变换一定要注意矩阵的相乘顺序，左乘右乘结果是不同的；自由矢量变换使用旋转映射即可，径矢或点的坐标变换则需使用齐次映射。