1.7 共轭曲面的两类界限函数与特征矢量

共轭曲面的两类界函数H _t 、Φ和矢量p、q反映了共轭曲面的内在特征和啮合性能，是共轭曲面理论的核心内容之一。这里将探讨这两类界函数和矢量p、q与啮合性能的关系及其本身的物理意义。这有助于对共轭曲面啮合性能的理解与控制。共轭曲面的啮合性能主要包括：接触线的分布、形状和长度、诱导法曲率、相对运动速度和润滑角、润滑油卷吸速度、根切和干涉等内容。

1.7.1 二界函数H _t 和矢量q

共轭曲面∑ ₁ 、∑ ₂ 的啮合方程式 （1-46） 保证了两曲面的正确啮合，其对时间t的导函数H _t 称为共轭曲面的二界函数：

矢量q在接触点法向n上的投影就是二界函数H _t ，故q只与接触点位置、运动参数和曲面法向有关，与曲面形状无关，如图1-17所示。

当q与n垂直时，H _t =0，表示∑ ₁ 上的二类界点 （二界曲线）。二类界点处的法矢称为极限法矢n ₀ ，它垂直于q和V ^（12） ，故有：

二类界限点的集合——二界曲线是∑ ₁ 上接触线的包络线，是∑ ₁ 上啮合区与非啮合区的分界线。因此，二界函数和二界曲线决定了∑ ₁ 上工作区的大小。

1.7.2 共轭曲面的一界函数Φ和矢量p

一界函数Φ可写作

式中， 分别为∑ ₁ 上接触点处V ^（12） 方向的法曲率和短程挠率。显然，

如果用曲面∑ ^（1） 曲率主值 （k _e ，k _f ）、主方向 （e，f） 来表示，则

从式 （1-55） 的形式上看出，p是反映法矢n绕ω ^（12） 的转动和随V ₁₂ 运动变向的矢量 （dn/ds只与曲面∑ ₁ 的曲率、挠率有关）。n矢量的变向与曲率有关，故p与共轭曲面的曲率相联系。在接触点处的诱导法曲率 （主曲率之一，另一为K _I =0） 为

满足Φ=0的∑ ₂ 上的点集称作一界曲线。一般Φ=0线两侧的Φ和K _II 变号，表明一界曲线的一侧将发生曲率干涉，故一界曲线又称为根切界限线。这说明，Φ和p决定了共轭曲面的诱导法曲率、根切和∑ ^（2） 的工作区大小。

1.7.3 接触线在曲面上的移动速度和卷吸速度

接触点在曲面∑ ^（1） 、∑ ^（2） 上的移动速度 （相对速度） 分别为v _r ^（1） =dr ₁ /dt和v _r ^（2） =dr ₂ /dt，有

又因 ，两端点乘p后，有

接触线移动方向与矢量p的关系如图1-18所示，其中v _r ^（1） 和v _r ^（2） 可取任意方向。当沿接触线 （t—t） 方向时，dt=0，因dr ₁ ≠0，dr ₁ .p≠0表示：在公切面上与接触线方向垂直，是接触线法向矢量，表示了接触线移动的方向。

在接触线法向 （p） 的投影分别为H _t /p和Φ/p。虽然 可取任意方向，但它们的矢量箭头总是分别落在a—a或b—b直线上，在p上的投影不变。这说明接触线在∑ ^（1） 、∑ ^（2） 上沿p方向的运动速度分别为H _t /p和Φ/p，两类界函数和p矢量表明了接触线在∑ ^（1） 、∑ ^（2） 上的疏密程度、分布和方向。

从润滑的观点看，∑ ^（1） 、∑ ^（2） 相对接触线的运动速度 在接触线的法向分量是润滑油的卷吸速度：

则卷吸速度 （合速度） u _E 为

可见，润滑性能也可直接用一界函数、二界函数和p表示。有的文献用相对运动速度V ^（12） 及其与接触线方向的夹角θ _v （润滑角） 来表示润滑性能。则V ^（12） 接触线法向分量v _p 和润滑角θ _v 同样可用H _t 、Φ和p来表示：

两齿面的接触迹线方向与接触点处相对运动速度方向之间的夹角θ _ν ，在齿轮啮合过程中是较为重要的一个数值，这个角度对于两齿面在相对运动时形成油膜的条件有着很大的影响，为了有利于油膜的形成以改善润滑条件，θ _v 角度值最好等于或者接近90 °。

1.7.4 二包 （反包络） 中界函数与p ^* 、q ^*

在∑ ^（1） 包络形成∑ ^（2） 后，再以∑ ^（2） 反过来形成包络∑ ^（1） 时，除了形成∑ ^（1） 的原始曲面的一部分∑ ^（1） ₁ （原∑ ^（1） 曲面上的工作区） 外，根据二次作用原理，还将形成∑ ^（1） 的另一部分∑ ^（1） ₂ （在原曲面非工作区上方）。

二包中，由于相对运动相同 （满足V ^（21） =-V ^（12） ），其啮合方程为

对t求导，得二包二界函数 为

而q ^* =-q （对第一接触线：∑ ^（2） 、∑ ^（1） ₁ ）。

当 时为二包二界曲线，它是一包二界曲线在∑ ₂ 上的共轭曲线，是∑ ₂ 上只参与一次啮合的点的集合。

二包一界函数可写作

可见，p ^* ≠p。对 曲面的第一接触线，是一包接触线的复现，故p ^* 、p都与其法向矢量平行，则

式中， 是两曲面沿V ₁₂ 方向的相对曲率，有

将其代入式 （1-68），有

所以

将其代入式 （1-67），有

或 。

当H _t =0时，Φ=0，表明∑ ^（1） 上的一包二界曲线又是二包一界曲线，称作双重界曲线。它实际上还是 和 的交界线，在 上沿双重界曲线无根切，但在媒介齿轮原理下的双重界曲线处有根切存在 （边界干涉）。

与式 （1-59）～式（1-62） 类似，可写出

应该说明，对∑ ₂ 与∑ ₁₂ 之间的第二次接触线，p ^* 和p不平行，不满足式 （1-68）～式 （1-72）。

通过以上分析，可以看出，共轭曲面的两类界函数与p、q矢量反映了共轭曲面的内在特征和啮合性能。

（1） 二界函数H _t 和二界曲线决定了∑ ₁ 的工作区域的大小。

（2） 一界函数Φ和p的模|p|决定了接触点诱导法曲率，一界曲线决定了∑ ₁ 的根切和工作区域的大小。p与n方向改变相关性 （即曲面曲率相关），p又是接触线法向矢量，反映了接触线的方向。

（3） H _t /p、Φ/p分别是接触线在∑ ₁ 、∑ ₂ 上沿p的运动速度大小，反映了接触线分布的疏密程度。

（4） 卷吸速度u _E =-（Φ+H _t ）/p反映共轭曲面的润滑性能，而相对运动速度在接触线法向的分量v _p 和润滑角θ _v 都可以用Φ、H _t 和p表示。 6JfZfKBdNmDWsH3hAYHaP6CjnWdwSUQmMx3X6HyEGInv9hrhzJnBQnJsWe5NL+FG