2.3 电阻器、电感器和电容器串/并联交流电路

2.3.1 电阻器、电感器和电容器串联交流电路

电阻器、电感器和电容器串联电路是具有一般意义的典型电路。它包含了三个不同的电路参数。常用的串联电路都可认为是这种电路的特例。图2-22（a）、（b）所示分别为RLC串联交流电路和RLC串联电路的相量模型。

1.电压与电流的关系

令

则

由KVL

其中

式2-38叫做欧姆定律的相量形式，复数Z称为复阻抗或阻抗，X=X _L -X _C 称为RLC串联电路的电抗，X的正、负关系到电路的性质。

由上式可得

式2-41中，|Z|、R、X _L -X _C 三者之间的关系可用直角三角形（称为阻抗三角形）来表示，如图2-23所示。

式2-43中，电源电压u与电流i的相位差角φ又可称为阻抗角。

2.电路的性质

（1）电感性电路：X _L ＞X _C 。

此时X＞0，U _L ＞U _C 。阻抗角 ，相量图如图2-24（a）所示，从相量图可看出，电流滞后电压φ角。

（2）电容性电路：X _L ＜X _C 。

此时X＜0,U _L ＜U _C 。阻抗角 ，相量图如图2-24（b）所示，从相量图中可看出，电流超前电压φ角。

（3）电阻性电路：X _L =X _C 。

此时X=0，U _L =U _C 。阻抗角φ=0，相量图如图2-24（c）所示，从相量图可看出，电流与电压同相。

【例2.16】 有一RLC串联电路，其中R=30Ω，L=382mH，C=39.8μF，外加电压 ，试求：（1）复阻抗Z，并确定电路的性质；（2） 、 、 、 ；（3）绘出相量图。

解：

（1）Z=R+j（X _L -X _C ）=50∠53.1°（Ω）

φ=53.1°＞0，所以此电路为电感性电路。

（2）

（3）相量图如图2-25所示。

【例2.17】 用电感器降压来调速的电风扇的等效电路如图2-26（a）所示，已知R=190Ω， ，电源电压U=220 V，f=50 Hz，要使U ₂ =180 V，问串联的电感器的感抗 应为多少？

解：以 为参考相量，作相量图如图2-26（b）所示。

2.3.2 电阻器、电感器和电容器并联交流电路

1.复阻抗的串并联

复阻抗的串并联计算规则和电阻电路的串并联计算规则相同。对于有n个阻抗串联而成的电路，如图2-27所示，其等效阻抗为

两个阻抗Z ₁ 和Z ₂ 串联时，如图2-28所示，电压分配为

对于有n个阻抗并联而成的电路，如图2-29所示，其等效导纳为

两个阻抗Z ₁ 和Z ₂ 并联时如图2-30所示，其等效阻抗Z及电流分配分别为：

综上分析，我们可总结出电阻器、电感器和电容器串、并联组成的交流电路的分析步骤：

（1）合并复阻抗；

（2）根据相量形式欧姆定律求电压或电流。

【例2.18】 图2-31所示并联电路中，已知端电压

试求：（1）总导纳Y；（2）各支路电流 、 和总电流 。

解：选U、I、I ₁ 、I ₂ 的参考方向如图2-31所示。

（1）

（2）

对于复阻抗的串并联电路，其分析方法类似于直流电阻器电路。需要指出的是，基于相量分析的直流电阻器电路的一般方法均可适用于正弦交流电路。

2.3.3 正弦交流电路的功率

前面我们已分别讨论了R、L、C的功率计算，现在我们来分析一下不是单个参数时电路中的功率计算。

1.瞬时功率p

如图2-32所示，设通过负载的电流为

加在负载两端的电压为

则在u、i取关联参考方向时，负载吸收的瞬时功率为

可见，瞬时功率有恒定分量 和正弦分量UI cos（2ωt+φ）两部分，正弦分量的频率是电源频率的两倍。

2.有功功率P

我们把一个周期内瞬时功率的平均值称为“平均功率”，或称为“有功功率”，用字母“P”表示。即

这里的φ角是该负载的阻抗角，阻抗角的余弦（即 ）称做负载的“功率因数”。

由于电感元件、电容元件上的平均功率为零，即P _L =0，P _C =0，因而有功功率等于各电阻器消耗的平均功率之和，即有

3.无功功率Q

无功功率的定义式为

在既有电感器又有电容器的电路中，总的无功功率等于两者的代数和，即

式（2-50）中Q为一代数量，可正可负，Q为正表示电抗从电源吸收能量，并转化为电场能或磁场能存储起来；Q为负表示电抗向电源发出能量，将存储的电场能或磁场能释放出来。

4.视在功率S

视在功率的定义式为

即视在功率为电路中的电压和电流有效值的乘积。视在功率的单位为伏安（VA），工程上也常用千伏安（kVA）表示。两者的换算关系为

5.功率三角形

以上三种功率和功率因数cosφ在数量上有一定关系，可以用“功率三角形”将它们联系在一起（如图2-33所示），即

其中

【例2.19】 已知一阻抗Z上的电压、电流分别为 ， （电压和电流的参考方向一致），求Z、cosφ、P、Q、S。

解：

【例2.20】 已知40W的日光灯电路如图2-34所示，在U=220V的电压之下，电流值为I=0.36A，求该日光灯的功率因数cosφ及所需的无功功率Q。

解：因为P=UIcosφ

所以

由于是电感性电路，所以φ=60°。电路中的无功功率为

【例2.21】 用三表法测量一个线圈的参数，如图2-35所示，得出相关数据：电压表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表的读数为30W，试求该线圈的参数R和L（电源的频率为50Hz）。

解：选u、i为关联参考方向，如图2-35所示。根据

线圈的阻抗

6.功率因数的提高

（1）提高功率因数的意义。

由于供电系统中的负载多为感性负载，如交流感应电动机、日光灯、变压器、发电机等，常常会使cosφ减小，从而造成P下降，能量不能充分地利用。

同时由于P=UIcosφ，所以I=P/cosφ，在输电功率与输电电压一定的情况下，cosφ越小，输电电流越大。因而增加了线路与发动机绕组的功率损耗。

所以，提高功率因数一方面可以使电源设备的容量得到充分的利用，同时也能节约大量电能。

（2）提高功率因数的方法。

按照供电规则，高压供电的工业企业平均功率因数不低于0.90。提高功率因数的常用方法就是与电感性负载并联电容器，其电路图和相量图如图2-36所示。

由相量图可知，并联电容器以后，总电压u和线路电流i之间的相位差φ变小了，即cosφ变大了。

由相量图可求得

【例2.22】 如图2-37所示为一日光灯装置等效电路，P=40W, U=220V，I=0.4A，f=50Hz，求：

（1）此日光灯的功率因数；

（2）若要把功率因数提高到0.9，需并联多大的电容器？

解：（1）

利用式（2-53）可得

知识拓展一 交流电路中的谐振

一、串联谐振

1.谐振现象

图2-38所示是由R、L、C组成的串联电路，在正弦激励下，该电路的复阻抗为

当X=X _L -X _C =0时，电路相当于“纯电阻器”电路，其总电压u和总电流i同相。电路出现的这种现象称为“谐振”。串联电路出现的谐振又称“串联谐振”。

2.产生谐振的条件

由以上分析可知，串联谐振的条件是

即

（1）当L、C固定时，可以改变电源频率达到谐振

（2）当电源的频率ω一定时，可改变电容量C和电感量L使电路谐振。

3.串联谐振的基本特征

（1）谐振时，电路的电抗为零，阻抗最小，且为纯阻性。

（2）谐振时，电路中的电流最大，且与外加电源电压同相。

（3）谐振时，电感和电容上的电压大小相等，相位相反，且其大小为电源电压Us的Q倍。Q称为电路的品质因数。电路的Q值一般为50～200，所以串联谐振又称电压谐振。电阻器上电压等于外加电压。即

串联谐振相量图如图2-39所示。

【例2.23】 串联谐振电路如图2-40所示，已知电压表V ₁ 、V ₂ 的读数分别为150V和120V，试问电压表V的读数为多少？

解：

所以，电压表的读数为90V。

二、并联谐振

工程上也常用到电感线圈与电容器并联的谐振电路。如图2-41所示，其中电感线圈用R和L串联组合来表示。

同串联谐振一样，当端电压u和总电流i同相时，电路的这一工作状态称为并联谐振。

1.并联谐振的条件

所以，并联谐振的条件是

2.并联谐振的特征

在ωL≫R的情况下，并联谐振电路与串联谐振电路的谐振频率相同。

（1）谐振时，阻抗 为最大值，且为纯阻性。

（2）谐振时总电流最小，且与端电压同相。电感器支路与电容器支路的电流大小近似相等，为总电流的Q倍，所以并联谐振又称电流谐振。

谐振为交流电路中的一种特殊现象，在无线电和电工技术中得到广泛应用。另一方面，发生谐振可能造成某种危害而应该避免。当R很小时，出现串联谐振的电路中，电感器和电容器上的电压会超出外加电压许多倍；而在并联谐振时电感器和电容器上的电流会超出外加电流许多倍，故在电力系统中要防止谐振的发生，以免引起过电压、过电流造成系统的设备损坏或人身事故。

知识拓展二 非正弦周期电流电路

前面我们研究了正弦电流电路的性质和分析方法，在实际工程中，还会经常遇到电流、电压不按正弦变化的非正弦交流电路。电力工程中应用的正弦励磁只是近似的。发电机与变压器等设备中均存在非正弦周期电流或电压。在通信工程、自动控制和电子技术中，脉冲信号广泛应用，其电流和电压也是非正弦的。因此，了解非正弦周期电流电路是非常必要的。

工程中比较常见的几种非正弦周期量如图2-42所示，图2-42（a）、（b）所示为脉冲电路中常遇到的尖脉冲和矩形脉冲，图2-42（c）所示的锯齿波是实验室常用的示波器中扫描电压所具有的波形。

非正弦信号可分为周期性的和非周期性的两种。以上波形虽然形状各不相同，但变化规律都是周期性的。含有周期性非正弦信号的电路，称为非正弦周期电流电路。我们这里仅讨论非正弦周期电流电路。

分析非正弦周期电流电路的一般步骤如下：

（1）将给定的非正弦激励信号分解为傅里叶级数，并根据计算精度要求，取有限项高次谐波。

（2）分别计算各次谐波单独作用下电路的响应，计算方法与直流电路及正弦交流电路的计算方法完全相同。对直流分量，电感元件等于短路，电容元件等于开路。对各次谐波，电路成为正弦交流电路。

（3）应用叠加原理，将各次谐波作用下的响应解析式进行叠加。

电容元件和电感元件对不同次谐波的作用不同。电感元件对高次谐波有较强的抑制作用，而高次谐波电流有畅通作用。利用电感器和电容器的这些作用可以组成各种形式的电路，将这种电路连接在输入和输出之间时，可以让某些所需要的频率分量顺利地通过而抑制某些不需要的分量，这种电路称为滤波器。滤波器在通信工程中应用很广，一般按照它的功能可以分为低通滤波器、高通滤波器、单通滤波器等。

图2-43（a）所示为一个简单的低通滤波器，图中电感元件对高频电流有很强的抑制作用，而电容元件对高频电流有很强的分流作用，这样输出信号中的高频成分小，而低频成分大。图2-43（b）所示为一个简单的高通滤波器，可近似地分析其作用原理。不过，实际滤波器电路的结构要复杂得多。