2.1 正弦交流电的基本特征

2.1.1 正弦交流电的三要素

大小、方向都随时间按正弦规律做周期性变化的电流和电压统称为正弦交流电或正弦量，其波形图如图2-1所示。

正弦量的数学表达式为

提示： 确定一个正弦量必须具备三个要素，即幅值、角频率和初相角。已知这三个要素，这个正弦量就可以完全描述出来。

一、幅值（最大值）

正弦量瞬时值中的最大值，叫幅值，也叫峰值。用大写字母带下标“m”表示，如U _m 、I _m 等。幅值反映正弦量变化的幅度。图2-1所示正弦交流电的波形中的U _m 便是电压的幅值。幅值为正值。

交流电的有效值是根据它的热效应确定的。交流电流i通过电阻器R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻器R在相同时间内所产生的热量相等，即

则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值，用大写字母表示，如I、U等。

令i=I _m sinωt，则

同理

得到正弦量有效值是幅值的 。

日常照明用电压220V，其最大值为

提示： 一般我们所讲的正弦电压、电流的量值，无特殊说明，都是指有效值。测量交流电压电流的仪表所指示的数字和电气设备铭牌上的额定值都是指的有效值。

【例2.1】 电容器的耐压值为250V，问能否用在220V的单相交流电源上？

解：因为220V的单相交流电源为正弦电压，其振幅值为311V，大于其耐压值250V，电容可能被击穿，所以不能接在220V的单相电源上。各种电器件和电气设备的绝缘水平（耐压值），要按最大值考虑。

二、角频率ω

角频率ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数，即

它反映正弦量变化的快慢。

在一个周期T内，正弦量所经历的电角度为2π弧度。由角频率的定义可知，角频率和频率及周期的关系为

由角频率的定义可知α=ωt，则图2-1中正弦电压的解析式便可写为

三、初相

在式（2-1）和式（2-2）中，ωt+θ _u 和ωt+θ _i 称为相位，反映了正弦量随时间变化的进程。把t=0时刻正弦量的相位叫做“初相”，用字母“θ”表示。规定|θ|不超过π弧度。

正弦量的相位和初相都与计时起点有关。

【例2.2】 在选定的参考方向下，已知两正弦量的解析式为i=-5sin（314i+30°）A，u=200sin（1000t+200°）V，试求两个正弦量的三要素。

解：（1）u=200sin（1000t+200°）V=200sin（1000t-160°）V

所以电压的振幅值U _m =200V，角频率ω=1000rad/s，初相θ _u =-160°。

（2）电流的振幅值I _m =5A，角频率ω=314rad/s，初相θ _i =30°。

2.1.2 相位差

两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用字母“φ”表示。

有两个正弦量

它们的相位差为

下面分别加以讨论：

（1）φ ₁₂ =θ ₁ -θ ₂ ＞0，且|φ ₁₂ |≤π弧度，如图2-2（a）所示，u ₁ 达到零值或幅值后，u ₂ 需经过一段时间才能达到零值或幅值。因此，u ₁ 超前于u ₂ ，或u ₂ 滞后于u ₁ 。

（2）φ ₁₂ =θ ₁ -θ ₂ ＜0，且|φ ₁₂ |≤π弧度，u ₁ 滞后于u ₂ ，或u ₂ 超前于u ₁ 。

（3）φ ₁₂ =θ ₁ -θ ₂ =0，称这两个正弦量同相，如图2-2（b）所示。

（4）φ ₁₂ =θ ₁ -θ ₂ =π，称这两个正弦量反相，如图2-2（c）所示。

（5） ，称这两个正弦量正交，如图2-2（d）所示。

【例2.3】 已知 ， ，求u和i的初相及两者间的相位关系。

解：

所以电压u的初相角为-125°，电流i的初相角为45°。

表明电压u滞后于电流i170°。

【例2.4】 已知 ， ，试分析二者的相位关系。

解：u ₁ 和u ₂ 的相位差为

考虑到正弦量的一个周期为360°，故可以将φ ₁₂ =210°，表示为φ ₁₂ =-150°＜0，表明u ₁ 滞后于u ₂ 150°。

2.1.3 正弦量的相量表示法

一、复数及四则运算

1.复数

在数学中常用A=a+jb表示复数。其中a为实部，b为虚部， 称为虚单位。在电工技术中，为区别于电流的符号，虚单位常用j表示。

取一直角坐标系，其横轴称为实部，纵轴称为虚轴，这两个坐标轴所在的平面称为复平面。这样，每个复数对应于复平面上唯一的点。如复数A=4+3j，所对应的一点为图2-3上的A点。

复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。复数A=a+jb可用一个从原点O到P点矢量来表示，如图2-4所示，这种矢量称为复矢量。矢量的长度r为复数的模；矢量与正实轴方向的夹角θ称为复数A的幅角，即

不难看出

2.复数的四种形式

（1）代数形式

（2）三角形式

（3）指数形式

（4）极坐标形式

在以后的运算中，代数式与极坐标式是常用的，对它们的换算应十分熟练。

【例2.5】 写出复数A=100∠30°的三角形式和代数形式。

解：三角形式

代数形式

3.复数的四则运算

（1）复数的加减法

设

则

复数相加减的矢量图如图2-5所示。

（2）复数的乘除法

【例2.6】 求复数A=8+6j，B=6-8j之和A+B及积A·B。

解：A+B=（8+6）+（6-8）j=14-2j

A·B=10∠36.9°×10∠-53.1°=100∠-16.2°

二、正弦量的相量表示法

在很多领域中，由两个因素决定的物理量往往可以用一个复数表示，如力、速度等。正弦交流电路中都是单一频率的物理量，只要表示出最大值（或有效值）和初相，该正弦量便可确定，可利用复数把这两个要素表示出来，复数的模等于正弦量的最大值（或有效值），幅角等于正弦量的初相。为与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量。并用正弦量的大写字母顶上加以圆点“·”来表示。本书中说的相量的模常指有效值，以 等表示，如设元件两端的电压和流过元件的电流均采用关联参考方向，并设电压、电流的瞬时表达式分别为

则代表它们的相量分别为

正弦量的相量和复数一样，可以在复平面上用矢量表示。画在复平面上用矢量表示相量的图形称为相量图。显然，只有同频率的多个正弦量对应的正弦量画在同一个复平面上才有意义。

只有同频率的正弦量才能相互运算，运算方法按复数的运算规则进行。把用相量表示正弦量进行正弦交流电路运算的方法称为相量法。

【例2.7】 已知同频率的正弦量的解析式为 ，写出电流和电压的相量 ，并绘出相量图。

解：由解析式可得

相量图如图2-6所示。

【例2.8】 已知同频的正弦量的相量各为 ， ，试求两正弦电压的解析式。

解：由于

所以 iex0lkPa9JZzhf0FwRZEvu9mC4CeXB8PZW9uyLcdMSrjHpK5fzbbiP73igUQABK7