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为了减少设计条件的保守性，上、下隶属函数的形状信息将被考虑进推导过程。相关结果总结在定理2.1。
此外，
是分别满足式（2-32）、式（2-33）、式（2-36）、式（2-37）和式（2-38），且需要被提前决定的标量。反馈增益矩阵定义为
G
jk
=
N
jk
X
-1
，
j
=1，2，…，
c
，
k
=1，2，…，
p
。
证明： 考虑如下的李雅普诺夫函数。
式中，
。由式（2-16）和式（2-27）可得
为了推导基于LMI的镇定条件，记
X
=
P
-1
、
z
（
t
）=
X
-1
x
（
t
）和
G
jk
=
N
jk
X
-1
。其中，
。于是式（2-28）可重新表示为
式中，
C
jk
、
D
jk
、
是松弛矩阵。由式（2-30）可得
假设隶属函数满足：
式中，
是提前决定的标量。定义
，
i
=1，2，…，
p
，
j
=1，2，…，
c
，
k
=1，2，…，
p
。其中，
。由式（2-32）和式（2-33）可得
由式（2-34）可得
接下来，假设隶属函数满足如下的界条件。
因此，由式（2-29）、式（2-31）、式（2-35）及式（2-39）～式（2-44）有
Π ≤ Π + Ξ + Φ + Ψ 1 + Ψ 2 + Ψ 3 + Ψ 4 + Ψ 5 + Ψ 6
基于式（2-17）～式（2-25），式（2-45）可重新写为
蕴涵了 V ˙（ t ）＜0。定理得证。
注 2.1
：若只考虑一个运行域，即
c
=1，则对于所有的
j
有
G
k
=
G
jk
，
m
k
=
且
。因此，闭环系统式（2-16）退化为
显然，式（2-47）等价于文献中[32]中的式（18）。一旦只考虑一个运行域且选择 F ijk = H ijk = J ijk = K ijk = L ijk = M ijk =0，定理2.1中的LMI条件就退化为文献[32]中的条件。因此，文献[32]中条件是定理2.1中条件的特殊情形。显然，本书提出的条件具有更少的保守性。
注2.2
：在求解LMIs前，需要评估
、
，
i
=1，2，…，
p
，
j
=1，2，…，
c
，
k
=1，2，…，
p
。事实上，这些标量可以通过数值优化算法求解得到。例如，
可以分别通过
求得。类似地，
也可以按同样方式计算。对于条件式（2-32），可以取
且
。对于条件式（2-33），可以先令
为较小的常数，再求
。这些标量存在很多选择，不同的选择会导致不同的LMI条件，当然不同的LMI条件就会产生不同的保守性。因此，找到这些标量的最优选择，从而获得最少保守性的结果是下一步工作的重点。
注2.3 ：有时，获得的 N jk （ j =1，2，…， c ， k =1，2，…， p ）可能非常大，但 X 又非常小，以致控制输入 u （ t ）的幅度不可接受。文献[134]通过强加一些额外LMI条件减小了控制输入 u （ t ）的幅度，这些额外LMI条件可描述为
式中， i λ 和 κ jk 是正标量。文献[134]展现了选择 i λ 和 κ jk 的搜索算法。在搜索之初，可以令 i λ 为一个较小的数，而 κ jk 为一个较大的数。若控制输入 u （ t ）的幅度不可接受，我们可以降低 κ jk 并增大 i λ 的值，从而获得合适的增益值。