2.3 域值切换控制器的设计

为了减少设计条件的保守性，上、下隶属函数的形状信息将被考虑进推导过程。相关结果总结在定理2.1。

此外， 是分别满足式（2-32）、式（2-33）、式（2-36）、式（2-37）和式（2-38），且需要被提前决定的标量。反馈增益矩阵定义为 G _jk = N _jk X ^-1 ， j =1，2，…， c ， k =1，2，…， p 。

证明： 考虑如下的李雅普诺夫函数。

式中， 。由式（2-16）和式（2-27）可得

为了推导基于LMI的镇定条件，记 X = P ^-1 、 z （ t ）= X ^-1 x （ t ）和 G _jk = N _jk X ^-1 。其中， 。于是式（2-28）可重新表示为

式中， C _jk 、 D _jk 、 是松弛矩阵。由式（2-30）可得

假设隶属函数满足：

式中， 是提前决定的标量。定义 ， i =1，2，…， p ， j =1，2，…， c ， k =1，2，…， p 。其中， 。由式（2-32）和式（2-33）可得

由式（2-34）可得

接下来，假设隶属函数满足如下的界条件。

因此，由式（2-29）、式（2-31）、式（2-35）及式（2-39）～式（2-44）有

Π ≤ Π + Ξ + Φ + Ψ ₁ + Ψ ₂ + Ψ ₃ + Ψ ₄ + Ψ ₅ + Ψ ₆

基于式（2-17）～式（2-25），式（2-45）可重新写为

蕴涵了 V ˙（ t ）＜0。定理得证。

注 2.1 ：若只考虑一个运行域，即 c =1，则对于所有的 j 有 G _k = G _jk ， m _k = 且 。因此，闭环系统式（2-16）退化为

显然，式（2-47）等价于文献中[32]中的式（18）。一旦只考虑一个运行域且选择 F _ijk = H _ijk = J _ijk = K _ijk = L _ijk = M _ijk =0，定理2.1中的LMI条件就退化为文献[32]中的条件。因此，文献[32]中条件是定理2.1中条件的特殊情形。显然，本书提出的条件具有更少的保守性。

注2.2 ：在求解LMIs前，需要评估 、 ， i =1，2，…， p ， j =1，2，…， c ， k =1，2，…， p 。事实上，这些标量可以通过数值优化算法求解得到。例如， 可以分别通过 求得。类似地， 也可以按同样方式计算。对于条件式（2-32），可以取 且 。对于条件式（2-33），可以先令 为较小的常数，再求 。这些标量存在很多选择，不同的选择会导致不同的LMI条件，当然不同的LMI条件就会产生不同的保守性。因此，找到这些标量的最优选择，从而获得最少保守性的结果是下一步工作的重点。

注2.3 ：有时，获得的 N _jk （ j =1，2，…， c ， k =1，2，…， p ）可能非常大，但 X 又非常小，以致控制输入 u （ t ）的幅度不可接受。文献[134]通过强加一些额外LMI条件减小了控制输入 u （ t ）的幅度，这些额外LMI条件可描述为

式中， _i λ 和 κ _jk 是正标量。文献[134]展现了选择 _i λ 和 κ _jk 的搜索算法。在搜索之初，可以令 _i λ 为一个较小的数，而 κ _jk 为一个较大的数。若控制输入 u （ t ）的幅度不可接受，我们可以降低 κ _jk 并增大 _i λ 的值，从而获得合适的增益值。 2uJiDY67Jr15G/kcetPL19xuhDoC7uup2DwW2hFK3C5NGSA8aMyZNYbE5OV6ey/g