第3节
黑客生态的演变规律

关于黑客，外行看热闹，看到的是一个个绝顶聪明、行为怪诞的稀有年轻奇才；内行看门道，看到的是完全不同的景象。比如，本章前两节，将静止不动的黑客看作纯粹数学中的离散随机变量，并分析了其战略和战术的最佳攻击策略。本节中，我们换一个角度，将黑客更加形象地看成一个个冷冰冰的黑客工具，因为离开了工具，黑客就什么也不是了。所以，下文只关心黑客工具，当然，我们把工具也当作生物来描述，在不引起混淆的情况下，也用“黑客”之名来称呼（本节的生物数学知识来自参考文献[6]）。

现实社会中，除极个别顶级黑客会自己开发工具之外，绝大部分黑客都只会使用现成的黑客工具（其实主要就是一些特殊软件）。而且，顶级黑客的杀手锏工具是决不外传的，所以它不在本节的研究范围之内，让法律和红客去单挑这种顶级黑客吧。本节不研究的黑客工具还包括预装类和广告类。某些免费手机中已经悄悄预装了偷钱软件，这便是预装类的例子；某些靠广告支撑的畅销软件中的漏洞（有意或无意）便是广告类的例子。更严谨地说，本节只研究那些依靠口口相传、在网上广泛流行，并被普通黑客经常（购买或出售）使用的黑客工具。这是因为，一方面，它们才是破坏力量的主体，虽然其媒体出镜率并不高；另一方面，这类黑客工具的传播具有明显的生物特性，从而可以借用现成的生物动力学成果。为了简便，除非特别说明，本节所说的黑客工具都指这种依靠口口相传的黑客软件。

在现实中，一个黑客所拥有并随时使用的，肯定不止一种黑客工具，但是为了研究方便，本节假定所有黑客都只用同一种黑客工具。当然，这里所说的一种工具，也并非仅仅是一个工具，而至少是一类工具。比如，若以黑客目标来分类的话，那么所有试图获得正常用户的密码口令的工具都可以当作一种工具。另外，我们说只有顶级黑客才会开发自己的工具，并不意味着普通黑客不对其工具做个性化的处理，但是这种大同小异的修改我们忽略不计。

首先来研究单工具黑客动力学。

当某种黑客工具，即一种软件被开发出来并被放在网上后，还不能算作黑客就诞生了（最多只能算作黑客的首枚卵产出了），因为没人用的软件等于不存在。只有当某人下载并使用该软件去攻击别人时，才说一个黑客诞生了。这个黑客也许又会将该款软件推荐给他的一批朋友（相当于他又产了一批卵），这批朋友中的某些人又去下载该软件并攻击别人，就又诞生了若干儿子代黑客。这些新黑客又再向他们的朋友推荐，如此循环往复，于是成为孙子代，黑客就源源不断地诞生了。你看，黑客的诞生模式其实与鸡、鸭、猪、狗等的诞生模式并无二异，都可用一个树图来表示，树图中的点就代表相应的黑客（或生物）。而且，最终的黑客总数会非常庞大，黑客代际之间的重叠会非常严重，以至于 t 时刻的黑客数目或密度 N ( t )可以用 t 的连续函数来表示。

再强调一次，本节只考虑同一种黑客软件的情形，相当于单种群的生物动力学。这样做的原因，一是因为单工具黑客的研究相对容易，可以得到一些比较深入的结果；二是因为单工具黑客是多工具情形（相当于多种群生物）的基础；三是如果被攻击的目标互不相关（比如，有的黑客是想获得隐私信息，有的黑客是想篡改别人的网页等），那么就可以将这些黑客看作并列的几批使用单工具的黑客，从而，本节的所有成果对每批黑客都有效。

Malthus模型是生物动力学中常见且非常有用的模型，它对我们研究单工具黑客也非常关键，所以现在结合黑客情况重新介绍如下。

记 N ( t )表示 t 时刻的黑客数目或密度，即正在用该工具攻击别人的黑客数量或密度（由于密度等于黑客数与总用户数的比值，所以在总数不变的情况下，密度和黑客数是等价的，不必刻意区分）。如果黑客的增长率是常数，或单位时间内黑客增长量与当时的黑客数量成正比，那么就可用 b 和 d 分别表示黑客的出生率和死亡率（这里的所谓“死亡”，包括两大部分：其一，某人卸载了此软件，从而黑客数减少一个；其二，某人虽拥有该工具，但此时此刻并未使用它去攻击别人，相当于生物的迁出，效果上也等于黑客数减少了一个。所谓“出生”，也包括两大部分：其一，就是某个新人下载并正使用该软件攻击别人，从而黑客数增加一个；其二，前一时刻未出手的黑客此刻发力了，相当于生物的迁入，效果上也等于黑客数增加了一个。）于是，在任意小的时间区间Δ t 内， N ( t )的变化量满足等式

上式两边同时除以Δ t ，并令Δ t →0取极限，就得到了著名的Malthus微分方程

其中， r = b - d 称为内禀增长率。

该微分方程的解析解为

于是，根据 b 和 d 的大小，在Malthus模型下，黑客的最终数量将为

由此可见，无论 r 多么小，只要 r >0（即出生率大于死亡率），那么活跃黑客的最终数量将为无穷大，但实际情况显然不是这样的，因为当黑客数量或密度大到某个程度后，合法用户的安全防护措施一定会加强，从而使得该黑客工具失灵，导致黑客们不得不放弃该工具（转而寻求其他攻击手段），这相当于该黑客死亡，于是死亡率会迅速超过出生率，黑客总数又会减少。

更准确地说，Malthus模型仅仅适用于黑客工具刚刚出现的早期阶段，那时的黑客数量相对较少（或密度相对较小），红客的防护措施还比较薄弱，黑客攻击的成功率和利润都较高，从而会刺激更多的黑客诞生或迁入，即出生率增加、死亡率减少。但是，随着黑客数量和密度的增大，觉醒并采取防卫措施的合法用户会增多，黑客的可攻击对象会减少，黑客彼此之间的竞争会加剧……总之，死亡率增加、出生率减少，即内禀增长率减少。由此可见，不能永远假设 r 为常数。于是，便引出了下面的另一种模型——Logistic增长模型，也是生物数学中的常见经典模型。

在单工具情形下，还需要引入另一个重要参数，称为黑客的最小生存数量（或密度），记为 K ₀ ，它意指如果黑客数 N ( t )永远小于 K ₀ ，那么黑客数将逐步减少，并最终灭亡，即趋于0。参数 K ₀ 的存在性可以这样来推理：由于黑客软件是（经朋友介绍后）自愿获取的，如果利用此工具去发动攻击会得不偿失，他就会放弃该工具（即死掉一个黑客）并且不再向其朋友推荐；当越来越多的黑客死亡时，该种黑客工具便被淘汰了。相反，如果事实证明该工具有利可图，黑客就会继续拥有并使用该工具，并有可能向其朋友推荐，从而黑客数将超过 K ₀ 。

在“不亏本”的前提下，人类本来就有相互合作的天性，特别是当 N ( t )较小时，更会互相帮助（这便是“老乡见老乡，两眼泪汪汪”的人性依据），因为帮助的结果对自己并无害（至少是害处很小），最终便导致提升黑客数量的增长率，甚至达到标准Malthus模型的指数增长速度。当然，当 N ( t )较大时，情况就相反了，黑客便会互相竞争（这便是“文人相轻”的人性依据），最终结果便是抑制黑客数量的增长率，这便是下面Logistic模型将要考虑的问题。

设 A 为黑客数的最大平均改变率，当 N ( t )较小且 N ( t )> K ₀ 时，生物学的经验已经告诉我们，黑客的内禀增长率 r 可以直观地替代为

于是，标准Malthus模型就变形为如下微分方程

当 A 为正时，该微分方程存在零平衡态和正平衡态 K ₀ ，而且零平衡态是局部稳定的，即当 N ( t )< K ₀ 后，黑客数 N ( t )会不断减少，并最终趋于0，于是该黑客工具被淘汰。但是，正平衡态 K ₀ 却是不稳定的，即当 N ( t )> K ₀ 时，黑客数呈增加态势。

上述分析对安全防护的红客们，有以下启发：

（1）消灭黑客宜早不宜迟，即在黑客数还没有达到最小生存量 K ₀ 时就动手，效果最好。

（2）如果成本较高，那么不必对黑客斩尽杀绝，只需要将其数目控制在 K ₀ 之内，黑客便会自动灭亡。

（3）如果错过了最佳时机（即黑客数已经超过 K ₀ ），那么黑客数将在随后的短时间内呈指数级的爆炸性增长，此时不必与黑客硬拼，而应该充分运用黑客之间的竞争机制，让他们互相制约（见下文的Logistic模型）。

（4）控制黑客的关键是控制内禀增长率 r ，这又有两种思路：其一是减少出生率 b ；其二是增加死亡率 d 。如果能够使 r <0，就胜券在握；如果能够使 r =0，就要考虑“任由 N (0)个黑客为非作歹”和“将黑客数量控制在 K ₀ 之内”的成本谁高谁低，取成本低者而行动；如果没办法控制内禀增长率而出现了 r >0，那么红客的第一道防线就崩溃了，只能转战由Logistic模型构建的下一道防线。

现在我们就来研究Logistic增长模型及其变形。

每款黑客工具都不可能永远通吃所有合法用户。换句话说，每个网络能够承受的活跃黑客数都是有限的，该数称为环境容纳量，记为 K （正数），即当 N ( t )= K 时，黑客数将出现零增长（不难看出，一定有 K ₀ < K ）。其实，在实践中，往往不是黑客工具有多么厉害，而是合法用户太懒或太大意，比如，他们懒于安装相关的漏洞补丁或缺乏安全意识等。但是，一旦活跃黑客数量或密度过大，以致在某合法用户身边出现了受害者时，他就会积极加强防护，从而扼制了黑客的生存环境。

黑客数的内禀增长率当然不会突然减为0，合理的假定是：随着活跃黑客数逐渐靠近环境容量 K ， r 逐渐变小并最终靠近0。最简单的情况是：每增加一个黑客，就均匀地对内禀增长率产生 抑制影响，于是 N ( t )个黑客就产生 的抑制影响，从而未被影响的部分就剩下 ，换句话说，内禀增长率就由 r 减少为 r ，于是，内禀增长率为常数的Malthus模型，便被改进为内禀增长率为变数 r 的以下微分方程所表示的标准Logistic模型：

其中， r 是内禀增长率， K 为环境容纳量。

该微分方程的解析解为

它完全由 r 、 K 和黑客数量的初值 N (0)确定。根据此解析解得知，若 N (0)>0，当 t →∞时，黑客数 N ( t )将最终趋于容纳量 K 。

而且，当初值 N (0)满足 点处，出现唯一的拐点：当 N ( t )很小时，在一定的时间范围内，黑客数将呈指数增长模式；然后，抑制影响开始发挥作用，并在容纳量 K 处，黑客数量将最终达到饱和。更详细地说，此处的S曲线可以划分为以下五个阶段：

（1）开始期，也称为潜伏期，黑客数量很少，数量和密度的增长缓慢。

（2）加速期，随着黑客数的增加，密度也迅速增加。

（3）转折期，当黑客数达到饱和密度的一半 时，密度增长最快。

（4）减速期，当黑客数超过 以后，密度增长逐渐变慢。

（5）饱和期，黑客数量达到 K 值而饱和，这意味着 K 是稳定的。

上述标准Logistic模型更适合于黑客数量和密度 N ( t )较大时的情况，它已经考虑到了黑客彼此之间的竞争，以及由此导致的对内禀增长率的抑制情况。而当 N ( t )较小时，黑客之间又是相互帮助的，并将导致内禀增长率变大，所以若同时考虑“人少时的合作”和“人多时的竞争”，那么标准Logistic模型便可改进为以下具有Allee效应的Logistic模型：

此时，便存在着三个非负平衡态：0、 K ₀ 和 K 。具体地说：

（1）当0< N ( t )< K ₀ 时， ，即黑客数量不断减少。

（2）当 K ₀ < N ( t )< K 时， ，即黑客数量不断增加。

（3）当 N ( t )> K 时， ，即黑客数量又不断减少。

因此，0和 K （最大容纳量）是局部稳定的平衡状态。黑客的最小生存数量 K ₀ 是不稳定的平衡态，并且它有两个稳定平衡态的分界点，即当黑客数量的初值 N (0)> K ₀ 时，黑客数量将最终趋于 K ；而当 N (0)< K ₀ 时，黑客数将最终趋于零，该黑客工具被淘汰。

除了考虑黑客合作时的改进型Logistic模型（即具有Allee效应的Logistic模型）之外，还可以考虑正常用户合作时的改进Logistic模型。此时，当某个用户被攻击后，他不但会自身加强保护措施，还会将其经验和教训传播给身边人员，提醒他们注意，于是黑客可能攻击的对象数就会减少，形象地说，黑客的“食物”就减少了。极端情形是：如果所有用户都觉悟并采取防护措施后，那么该黑客工具就失灵了，从而黑客就无目标可攻击，当然也就只好灭亡了。

记 S 为黑客数达到饱和时正常用户的觉悟率（即他们采取了安全措施，使得该款黑客工具失效），记 F ( t )为 t 时刻（黑客数为 N ( t )时）的用户觉悟率，将标准Logistic方程等价地重新写为

保持上式的左边不变，但将其右边的饱和量 K 替换为饱和时的用户觉悟率 S ，将右边的黑客数 N ( t )替换为用户觉悟率，便得到标准Logistic模型的另一种改进用户合作时的Logistic模型

上式的左边表示 t 时刻黑客的平均增长率；右边则表示 t 时刻用户的未觉悟率。该式的直观解释便是：黑客增长率与用户未觉悟率成正比。这种解释显然是有道理的，因为未觉悟的用户越多，黑客的利润就越大，就越能刺激更多的黑客发动进攻；反之亦然。

再注意到 F ( t )，当然应该与黑客数 N ( t )和黑客的变化数 有关，为简便计，假定这种关系是线性关系，即

这里 c ₁ 、 c ₂ >0，即黑客越多，黑客增长越快，那么觉悟的用户也会更快地增长。

由于在饱和状态时，同时成立

所以，在 F ( t )= c ₁ N ( t )+ c ₂ 中，时间趋于无穷大后，便有 S = c ₁ K 。于是，用户合作时的Logistic模型便可以更具体地表述为

这里 。该微分方程的解析解为

其中， A 是由初始条件确定的常数。注意到，当时间趋于无穷时，上式左边为有限值；而右边的e ^rt 为无穷大，所以要使整个右边有限的话，就必须有│ K - N ( t )│ ^1+rc 趋于0，即 N ( t )趋于 K 。

该微分方程还可看出，当黑客数 N ( t )较小时，黑客数的增加，反而会使得黑客的增长率 减小；当黑客较大时，黑客数的增加才会同时促进黑客增长率也增加。这再一次印证了消灭黑客宜早不宜迟。

上述分析可以给安全防护的红客以下启发：

（1）如果治理黑客的成本高于“任由 K （容纳量）个黑客肆虐”的成本，那么就不必治理了，否则就是费力不讨好。

（2）如果未能在开始期消灭黑客（即设置在 K ₀ 处的第一道防线被突破），那么第二道最佳防线就应该设置在 处的转折期。

（3）如果第二道防线也被突破了，就应该重点保护关键用户，不必再设置第三道防线了，除非有特殊的非经济因素。

（4）“用户彼此合作，提升觉悟率”也是对付黑客的有效手段。

接下来，我们再考虑一种非自治单工具模型。

标准Logistic模型的一个重要假设就是：内禀增长率 r 和容纳量 K 均为常数。这种假设的优点是直观简洁且逼近实际。当然，严格地说， r 和 K 不会永远都是常数，也会变化。比如，当黑客的期望值变大时，更多的黑客将因无利可图而放弃攻击（当然也就放弃了工具），那么容纳量将变小；当合法用户变得更麻木时，黑客能够获得的利润将更多，从而将有能力滋养更多的黑客，即容纳量会增大。不过，每种模型都有不够精确的地方，我们必须在取舍之间寻找折中，毕竟当模型过于精细后，相应的微分方程就无法求解了，更不能为了精细而精细。

若将 r 和 K 分别用分段连续的时间函数 r ( t )和 K ( t )来替代，那么标准Logistic模型就变成了以下非自治的Logistic模型：

该微分方程的解析解为

如果

并且

那么，非自治的Logistic模型就有一个全局稳定的解

并且，当 r ( t )和 K ( t )是周期函数时， N ^* ( t )也是周期函数。下面进一步地分成一些特殊情况来讨论非自治Logistic模型。

情况一：环境退化

所谓环境退化，就是指黑客的生存条件越来越差，即黑客的容纳量 K ( t )虽非负，但随着时间的推进 K ( t )越来越小，甚至 。此时生物数学中已经证明，如果内禀增长率满足

则

该结果的直观解释是：即使内禀增长率较大，在退化环境下，随着时间的推移，该黑客工具也将最终被淘汰，黑客被消灭。

如果内禀增长率满足

则

是一个正常数。对比上面那个直观解释，我们就得到一个有趣结果：即使内禀增长率较小，黑客数也会长期维持在正常数 N _∞ 附近，与初始值无关。内禀增长率是在无外界影响的条件下黑客数量的自然增长率（这便是“内禀”的含义所在），由此（再结合标准Logistic模型的结果）可知：如果某种黑客工具的内禀增长率很低，那么它在非常有利的环境下可能也很难生存，但是在退化的环境下，它却可能长期生存甚至繁荣！

情况二：周期性的考虑

黑客世界中也有一些有趣的周期现象。比如，在无外界干扰时，从宏观上看，当内禀增长率 r ( t )越来越大时，黑客的数量会增多，因此，每个黑客的利润会越来越少，这就会反过来促进越来越多的黑客放弃攻击，从而使 r ( t )开始变小。换句话说， r ( t )会不断地周期性振荡。同样，容纳量 K ( t )也具有这种周期特性。为数学上处理方便，我们假设 r ( t )和 K ( t )就是周期为 T 的连续函数，并且做出以下三个合理的假设。

假设一：黑客数越来越多时，他们会彼此竞争，从而会越来越严重地抑制黑客数量的增长。

假设二：当黑客数超过一定的值后，平均到每个黑客的利润会越来越低，因此，黑客数目将不会再增加。

假设三：在一个周期里，内禀增长率是受控的，即

于是，此时非自治的Logistic模型微分方程

存在着周期解析解

N (0)= N ( T )为黑客的初始值，并且当0< t < T 时，有

情况三：时滞因素的考虑

在标准Logistic模型中， t 时刻黑客数的平均变化率只与该时刻的黑客数有关，即等于 r 。但是，如果考虑得更精细一点，将会发现，其实存在着某种时滞现象，即 t 时刻黑客数的平均变化率，应该与 t - τ 时刻的黑客数有关，于是，便有标准Logistic模型可以改进为

或者等价地，有带时滞的Logistic模型

它存在着零平衡态，并且当 r >0时，零平衡态是不稳定的。此外，它还有一个正平衡态 N = K ，其稳定性为：当时，平衡态 N = K 是渐近稳定的；当 时，平衡态 N = K 不稳定，此时，黑客 N ( t )存在一个周期解，即黑客数的变化呈周期性起伏。

上述分析可以给安全防护的红客以如下启发：

（1）如果能够控制黑客的生存环境，那么增长态势越猛的黑客工具可能越短命，而增长缓慢的黑客工具可能会更命长。不过，如果他们的危害不高于治理成本的话，就可以不予理睬。

（2）黑客的增长率、网络对黑客数量的容量值、黑客数等都可能呈现周期起伏的现象，因此，如果红客要想稳准狠地消灭黑客，就最好在这些周期的低潮时下手！

本节研究黑客动力学时，到此都忽略了所有随机因素，但在实际情况下，随机因素显然是存在的。因此，现在就来重点考虑随机性，即研究单工具随机模型情况下，黑客的生态演变规律。

为减轻阅读负担，前文几乎省略了所有复杂的数学推导。这样做的原因有两个：一方面，这些推导在生物数学中都是常见的，如参考文献[6]；另一方面，虽然微分方程的求解很难，但是给出解析解后，验证其正确性却很容易。所以本节前面的省略不会影响本书的严谨性和正确性，只是把大量的推导工作隐没在了后台而已。接下来的有些数学推导就无法省略了，希望这些必不可少的公式不会给读者增添过多的困难。

首先，我们结合黑客情况来重新论述生物数学中所谓的“纯生过程”。

这里的所谓“纯生”，就是假定没有死亡（含迁出，下同），即黑客只增不减。记 t 时刻黑客数为 N ( t )，并假设：

（1）每个黑客的诞生（含迁入，下同）是互相独立的。

（2）在任意小的时间段Δ t 内，每个黑客诞生一个新黑客的概率为 λ Δ t + o (Δ t )，没有新黑客诞生的概率为1- λ Δ t + o (Δ t )，多于一个新黑客诞生的概率为 o (Δ t )。

如果已知 N ( t )= n ，那么在区间( t , t +Δ t ]内诞生的新黑客个数服从参数 n 和 λ Δ t 的二项分布的随机变量。当Δ t 非常小时，可以忽略 o (Δ t )的影响。于是，当 k =0,1,…, n 时，有

P { k 个新黑客在区间( t , t +Δ t ]诞生│ N ( t )= n }= ( λ Δ t ) ^k (1- λ Δ t ) ^n-k

记该概率为 P ( k )，这里和下文的 都表示组合数公式，即

于是有

并且，当 k ≥2时， P ( k )= o (Δ t )。

换句话说，这意味着随机过程 N ={ N ( t )， t ≥0}是一个连续时间Markov过程。记 N (0)= a >0，现在考虑黑客数的转移概率

它显然只依赖于时间差，从而是一个平稳随机过程。

现在考虑 p _n ( t )和 p _n ( t +Δ t )的关系。如果 N ( t +Δ t )= n > a ，且当Δ t →0时，忽略多于一个新黑客诞生的可能性，那么在 t 时刻，若在( t , t +Δ t ]时间段内没有新黑客诞生，则 N ( t )= n ；若在( t , t +Δ t ]时间段内有一个新黑客诞生，则 N ( t )= n -1。应用全概率公式，便有

将该公式等价地变形为

上式中，令Δ t →0，便有

当 n = a 时，由于此前黑客数为 a -1的概率为0（因为纯生），所以由全概率公式就有

所以

求解此微分方程，有

据上式和前面已有的公式可得

可以得到，在 t 时刻有 k 个新黑客诞生的概率为

这里， k =0,1,2,…，并且 为组合数公式。提醒：这个公式实际上就给出了在0时刻黑客数为 a 的条件下， t 时刻的黑客数达到 a + k 的概率 p _a+k ( t )。因此，在该时刻黑客数的均值 μ ( t )就为

此处，中间两个等式来源于均值的定义和 p _a+k ( t )的表达式，最后一个等式中略去了详细的计算过程（见参考文献[6]的5.3.1节）。这个公式告诉我们一个有趣的结果：在纯生过程中， t 时刻黑客的平均个数为 a e ^λt ，它与出生率为 b = λ 的Malthus模型的解析式完全一样！仔细想来也是有道理的，因为Malthus模型更适用于黑客数（密度）较小的初期，此时死亡（放弃工具）和迁出（有工具却不用）的黑客几乎不存在，这当然可以看作一个纯生过程了。

接下来，我们再看看与纯生过程完全相反的纯灭过程。

与纯生相反，此时只有死亡（放弃或不用黑客工具）。假定某黑客在 t 时刻还存活，但在时间区间( t , t +Δ t ]内死亡的概率为 μ Δ t + o (Δ t )，考虑条件转移概率

先看一个特殊情况： a =1，此时， p ₁ ( t )就是单个黑客在 t 时刻仍然存活的概率，并且有

其中，1- μ Δ t 是单个黑客在时间区间( t , t +Δ t ]内没有死亡的概率。令Δ t →0，便

有微分方程

它对初值 p ₁ (0)=1的解为

如果初始时刻的黑客数 a >1，则在 t 时刻仍然存活的黑客数是一个服从参数 a 和 p ₁ ( t )的二项分布的随机变量，所以有

其相应的数学期望值和方差分别是

可见，此时黑客数量的变化规律与Malthus增长模型中 d = μ , b =0（有死无生）的情形相似。

在纯灭过程中，黑客数要么保持常数，要么递减，最终有可能变为0（即灭绝）。精确地说，这种黑客工具灭绝的概率为

换句话说，此时黑客灭绝的概率为1，一定灭亡。

再接下来，考虑线性出生和死亡的生灭过程。

现在考虑同时有生也有死的情况，为简单计，假设生死速度均为线性。

设初始黑客数为 a ，且在时刻 t 黑客个数为 N ( t )，在时间区间( t , t +Δ t ]内有一个新黑客诞生的概率为 λ Δ t + o (Δ t )，有一个黑客死亡的概率为 μ Δ t + o (Δ t )。于是，在 N ( t )= n 的条件下，在区间( t , t +Δ t ]内出生一个黑客的概率为 λn Δ t + o (Δ t )，死亡一个黑客的概率为 μn Δ t + o (Δ t )；黑客数不变的概率为1-( λ + μ ) n Δ t + o (Δ t )。所以，仿照前面，记为

那么，利用全概率公式，便有

上式两边同除以Δ t ，并令Δ t →0，于是在 n ≥1时，便得微分方程

若 n =0，则有

相应的初始条件为：若 n = a ，则 p _n (0)=1；若 n ≠ a ，则 p _n (0)=0。

至此，得到了有生有死情况下，黑客个数的随机过程 p _n ( t )所应该满足的微分方程。由于求解此方程很复杂，我们只给出最终结果如下：

记

于是 p _n ( t )就是函数 Ф ( s ， t )关于参量 s 的多项式展开式中 s ⁿ 的系数。根据参考文献[6]中第5.3节的结果，我们知道，当 λ ≠ μ 时，有

其中，

当 λ = μ 时，有

现在来分析黑客被灭绝的概率，即

它其实就是 Ф (0, t )，所以当 λ ≠ μ 时

更进一步分析，当 λ < μ 时，在上式中令 t →∞，那么就有 p ₀ ( t )→1，即该种黑客工具以概率1被灭绝（这是可以理解的，因为新黑客出生的概率小于死亡概率时，当然最终会灭绝）；当 λ > μ 时，在上式中令 t →∞，那么就有 即该种黑客数量将最终稳定在

当 λ = μ 时， 。而且，当 t →∞时，也有 p ₀ ( t )→1，即该种黑客以概率1被灭绝。

初看起来，当出生概率等于死亡概率时，好像很难理解为什么它一定会灭绝。其实仔细分析后，就知道：0（灭绝）是一个吸引状态，且与 N ( t )的距离是有限的，又由于黑客数量的轨迹的随机性，因此掉进吸引子（灭绝）就成为必然。

经认真计算后，还知道在有生有死的情况下，在黑客数初值为 N (0)= a 时， N ( t )的条件数学期望值（即平均黑客数）为

这与确定性的Malthus模型的增长情况一样。

在黑客数初值为 N (0)= a 的条件下， N ( t )的条件方差值为：

当 λ ≠ μ 时，

当 λ = μ 时，Var[ N ( t )│ N (0)= a ]=2 aλt 。

再接下来，考虑非自治线性生灭过程。

在刚才研究的线性出生和死亡的生灭过程中，在考虑出生概率和死亡概率时，我们故意忽略了时间和黑客数，其实黑客数越多时，其出生和死亡的概率也就越大，因此更精细地假设，在 t 时刻，当黑客数为 n 时，相应的出生概率为 λ _n = λ ( t ) n 和死亡概率为 μ _n = μ ( t ) n ，于是类似地，可知条件概率

满足如下微分方程：

和

并最终求出（详见参考文献[6]的5.3.5节）在初始黑客数为 a 的条件下， t 时刻黑客数 N ( t )的数学期望值为

最后，考虑增长率只与黑客有关的情况。

假如黑客的出生率和死亡率都只与黑客个数有关，而与时间无关，不妨记：当有 n 个黑客时，出生率和死亡率分别为 λ _n 和 μ _n ； N ( t )∈{0,1,2,…, K }为 t 时刻的黑客个数，那么与前面类似，在 t 时刻， N ( t )满足如下Markov方案：

令Δ t →0，便得到黑客数的条件转移概率所满足的以下两个微分方程：

求解这个微分方程很难，不过幸好我们需要的有关黑客何时会灭绝的结果可以描述如下（见参考文献[6]的5.4节）：

所谓灭绝时间，就是指当黑客数首次为0的时间，也可以理解为此种黑客在被最终淘汰前的持续时间。记 T _n 为初始黑客数为 n 的情况下，黑客被灭绝的时间，它显然是一个随机变量，不过该随机变量的均值为

形象地说，对 E [ T _n ]越小的黑客工具，其寿命就越短。 3I2tt99TvkSjKutxcv5OdgwK4hTuEgMTImruA6p4OIwmYZ5HpsQtVgk/pcqQXcZ1