6-3 无规行走

另一个有趣的问题也需要用到概率概念。这就是“无规行走”的问题。在最简单的形式下，我们可以想象这样一个“游戏”，其中“游戏者”从 x ＝0的一点出发，要求他每“移动”一次 要么 朝前（向＋ x 方向）走一步， 要么 朝后（向－ x 方向）走一步。而朝前朝后必须 随机 决定，例如用抛掷硬币的方法。我们将怎样来描写这种运动的结果呢？在一般形式下，这个问题与气体中原子（或其他粒子）的运动，即布朗运动有关，也与测量中误差的组合有关。你们将会看到，无规行走问题与我们已讨论过的抛掷硬币问题密切有关。

首先，让我们看几个无规行走的例子。我们可以用行走者在 N 步中所经过的净距离 D _N 来表示他的进度。图6-5为无规行走者所走路径的三个例子（这里我们用图6-1所示抛掷硬币所得的结果作为随机选择的移动取向）。

对于这样一种移动我们可以说些什么呢？首先我们也许会问：“平均而言他走了多远？”我们必定 预期 他的平均进度将为零，因为他向前或向后走的可能性是均等的。然而我们有这样的感觉，随着 N 的增加，他更可能偏离起点越来越远。因此我们也许要问，走过的用 绝 对值 表示的平均距离是多少，也就是说｜ D ｜的平均值是多少。可是在这里用另一种量度“进度”的方法更为方便。这就是用距离的平方 D ² 来表示，它无论对正的还是负的移动都为正，所以它是这种随机漫步的一个合理 量度 。

我们可以证明， D ² _N 的预期值恰好是所走步子的数目 N 。所谓“预期值”，指的是可几值（也就是我们的最佳猜测），我们可以把它看作是对重复多次的一系列行走所 预期 的平均行为。我们用 来表示这样一个预期值，并且也可以称它为“方均距离”。走一步后的 D ² 总是＋1，所以当然 （所有的距离都将以一步为单位来量度。以后我们将不再写出距离的单位）。

当 N ＞1时，预期值 可以从 D _{N －1} 求得。如果走了（ N －1）步后，我们得到 D _{N －1} ，那么经过 N 步后，就有 D _N ＝ D _{N －1} ＋1 或 D _N ＝ D _{N －1} －1。其平方为

对于大量独立的无规行走，我们所能预期得到的，每次只有每一个数值的一半，因此我们的平均预期值恰好是这两个可能值的平均值。于是 的预期值就是 。 一般而言 ，我们对 所应 期望 的“预期值”就是 （根据定义！）。所以

我们已经说明 ；因而得到

这是一个多么简单的结果！

如果我们希望得到的不是距离的平方，而是像距离那样的一个数，以表示无规行走中“所作的从原点算起的进展”，那么我们可以用“方均根距离” D _rms 来表示：

我们已经指出，无规行走问题在数学形式上与本章开始时讨论过的那种抛掷硬币的游戏十分相似。如果我们设想每一步的取向对应于抛掷硬币中出现的正面或反面，那么 D 正好是获得正面的次数与获得反面的次数的差值 N _H － N _T 。由于 N _H ＋ N _T ＝ N 是总的所走步数（或总的所抛掷次数），我们就有 D ＝2 N _H － N 。以前我们曾为预期的分布 N _H （也称为 k ）导出一个表达式，而且得到了如式（6．5）所示的结果。由于 N 正好是一个常数，所以我们就为 D 得到一个相应的分布（由于超过 N ／2后出现的每次正面都会使反面受到“损失”，所以在 N _H 与 D 之间相差一个因子2）。图6-2表示在无规行走30步的例子中可能得到的距离分布情况（其中 k ＝15应读作 D ＝0， k ＝16应读作 D ＝2，等等）。

N _H 和它的预期值 N ／2的偏差为

方均根（rms）偏差为

根据我们对 D _rms 求得的结果，在走30步所预期的“典型”距离应是 5．5，或者典型的 k 应与15相差大约5．5／2≈2．8个单位。在图6-2中，我们可以看到，从中心量起的曲线“宽度”正好大约等于3个单位，和上述结果相一致。

现在我们已有条件来考虑一直到目前为止被我们所回避的一个问题。我们怎样知道一块硬币是“可靠的”或是“灌过铅的”？现在我们至少能够为之提供一部分答案。对于一块可靠的硬币，我们预期其能出现正面的次数的比值是0．5，亦即

我们 也 预期实际的 N _H 将偏离 N ／2大约有 ，或者说，它的 比值 与1／2的偏差为

N 越大，所 预期 的比值 N H／ N 就越接近于二分之一。

在图6-6中，我们根据本章前面提到的掷币记录画了一条表示比值 N _H ／ N 的曲线。从图中可以看出，对于大的 N ，得正面的比值趋向于接近0．5。遗憾的是，对任何给定的一轮或几轮，连观察到的偏差都 保证不了接近于预期 的偏差。总是有一定的机会出现大的涨落——一长串的正面或者一长串的反面，造成一个任意大的偏差。我们一切所能说的，只是 如果 偏差接近于预期的 （比如说在2或3倍之内），那么就没有理由去怀疑硬币的可靠性。如果偏差大得多，那么我们可以对硬币发生怀疑，但无法证明它是灌过铅的（或者抛掷者是非常机灵的）。

我们也没有考虑过应该如何来处理这样一块“硬币”或某一与之相似的“不确定的”物体（比如一块始终以两种方位中无论哪一种着地的石块），对于它们来说，我们很有理由认为出现正面和反面的概率应该是不同的。我们已经定义了 P （H）＝〈 N _H 〉／ N 。那么怎样知道 N _H 的 预期值 是多少呢？在某些情况下，我们所能做得最好的，就是去观察在大量抛掷中所得正面的数目。由于缺少任何更好的数据，我们不得不令〈 N _H 〉＝ N _H （观察值）（除此之外，还能期望做什么呢）。然而必须理解到，在这样一种情况下，不同的实验或不同的观察者可能会推论出不同的概率 P （H）。但是我们可以 预料 ，这些不同的答案应该在偏差 的范围内相互一致［假如 P （H）接近于1／2的话］。实验物理学家常常这样说：“实验确定的”概率是有“误差”的，并且把它写成

在这样一个表示式中含有下列意义： 存在 着一个“真正的”或“正确的”概率，只要我们知道的东西足够多，就能把它计算出来，其次是由于有涨落，观察会发生“误差”。然而没有办法能使这种想法做到逻辑上始终如一。如果能领悟到下列几点或许要比较好一些，即概率概念在某种意义上是主观的，它总是建立在不肯定的知识上的，而且它的定量值是随着我们得到的信息越多而改变着。 09gJzsWthIMSzeOBnAHG3tTGSrOvcZ9oOkjtgOxN76Q32WKdnaWOY1m0xCUoB226