6-2 涨 落

我们现在想利用有关概率的概念来比较详细地考虑一下这样的一个问题：“如果我把一个硬币抛掷 N 次，那么预期会得到多少次真正的正面？”然而在回答这个问题之前，让我们先来看一下在这样一个“实验”中确实会发生什么情况。图6-1表示 N ＝30的这样一个实验在前三“轮”中所得的结果。“正面”和“反面”的前后次序完全是按照它们得到时的次序排列的。第一轮得到11次正面；第二轮也是11次；第三轮16次。在这三轮试验中，我们没有一回得到15次正面。是不是要对硬币开始发生怀疑呢？或者在这样一种游戏中，我们设想得到正面的最可能次数是15这一点错了呢？再做97轮实验，以便一共得到100轮每回抛掷30次的实验。实验的结果列在表6-1中 。

如果观察一下表6-1中所列的各数，那么我们看到，大多数结果“靠近”15，而且位于12与18之间。如果我们为这些结果画一张分布图，那么就会对这些结果的细节有一个更好的理解。我们计算一下得到某一记录 k 的实验次数，并把这个数对每一个 k 作图，如图6-2所示。记录到15次正面的共有13轮游戏。记录到14次正面的也是13轮。得到16和17次的，每一个都 大于 13轮。我们是否断定这里对正面有所偏袒？我们的“最佳估计”是否不够好？是不是我们现在应该作出这个结论，即每轮30次抛掷的“最可能”记录实际上是16次正面？但是且慢！把所有各轮游戏加到一起，就总共抛掷了3 000次。而获得正面的总数是1 492。可见出现正面的抛掷其比数是0．497，很接近而稍小于0．5。当然我们 不应 假定抛掷后得到正面的概率大于0．5！至于某 特定 的一组观察经常得到16次正面这个事实，是一种 涨落 现象。然而我们仍然预期 最可能 的正面数是15。

我们可以提出这样的一个问题：“在30次抛掷的游戏中将获得15、16或任何其他次数正面的概率 是 多少？”我们已经说过，在抛掷一次的游戏中，得到 一次 正面的概率是0．5，得不到正面的概率也是0．5。在抛掷两次的游戏中，有 四种 可能的结果：即HH，HT，TH，TT 。既然这些结果中的每一个都是同样可能的，我们就推断出：（a）记录到两次正面的概率是1／4；（b）记录到一次正面的概率是2／4；（c）记录到零次正面的概率是1／4。这里有 两 种方式可以得到一次正面。但是得到两次或零次正面的方式各只有一种。

现在我们来研究抛掷三次的游戏。第三次抛掷同样可能得到一个正面或者一个反面。这里得到三次正面的方式只有一种：我们 必须 在前两次抛掷中得到两次正面，而后在最后一次中也得到正面。可是这里有 三 种方式可以得到两次正面。在掷得两次正面（一种方式）后，我们可以掷出反面，或者在前两次抛掷中只掷出一次正面（两种方式）后，我们可以掷出一个正面。因此对于3—H，2—H，1—H，0—H等记录，其同样可能的方式的数目分别为1，3，3，1。共有八种不同的可能结果。于是其概率分别为1／8，3／8，3／8，1／8。

刚才的讨论可以用图6-3所示的图解表示来概括。可以清楚看出，对于更大数目的抛掷，应如何来把这个图解表示继续下去。图6-4表示抛掷6次的这样一个图解表示。达到图中任何一点的所有“方式”的数目就是从起点开始到该点可以取的各种不同“途径”（即正面和反面相连的各种次序）的数目。最后一栏告诉我们掷得正面的总数。这样一种图表中。，因为它们也出现在（ a ＋ b ） ⁿ 的展开式中。如果我们称 n 为抛掷的次数， k 为掷得正面的次数，那么图表中的数字通常用符号 来表示。顺便提一下，二项式系数也可以从下式

算出，其中 n ！称为“ n 阶乘”，表示连乘积 n （ n _－ 1）（ n _－ 2）…3·2·1的意思。

我们现在打算根据式（6．1）来计算在 n 次抛掷中得到 k 次正面的概率 P （ k ， n ）。所有可能结果的总数是2 ⁿ （因为对每一抛掷有两个结果），得到 k 次正面的总共有 种，而每一种都是同样可能的，所以我们有

既然 P （ k ， n ）是我们期望会得到 k 次正面的比数，那么在100轮游戏中，我们应预期共有100· P （ k ， n ）轮会出现 k 次正面。图6-2中虚线所经过的各点就是从100· P （ k ，30）计算出来的那些点子。我们可以看到，我们 预期 有14或15轮游戏会记录到15次正面，然而只有13轮游戏观察到这个记录，我们 预期 有13或14轮游戏会记录到16次正面，但是却有16轮游戏观察到这个记录。这种涨落情况是“游戏的组成部分”。

我们刚才用过的方法，可以应用于最一般的情况，也就是在单独一次观察中只能得出两种可能结果的情况。我们用W［表示“win”（赢）］和L［表示“lose”（输）］来表示这两种结果。在一般情况下，单独一个事件会得W或L的概率是无需相等的。设 p 为得到结果W的概率。于是 q ——这个得到结果L的概率必然等于（1－ p ）。在一组 n 轮的试验中，得到 k 次结果为W的概率 P （ k ， n ）就等于

这个概率函数称为 伯努利 或 二项式 概率。 a8Cydvcj5ZN2b8waOitGuVBRAls3/dIWgiXHpCed+XUMyYgpCAwKRjD2N4NUuEbN